Juin 2005

Exercice IIIAttention aux notations: si 1 : E -> F est une application d'un ensembleE dans un ensemble F, l'image directe par 1 d'un sous-ensemble A de E seranotée 1*(A) (autre notation possible:I(A)), l'image réciproque (appeléeaussi image inverse) par 1 d'un sous-ensemble B de F sera notée f*(B)(autre notation possible: 1- 1 (B )).1. Soit 1 l'application de [-7f,7f] dans IR définie parYx E IR, l(x) = 2cosx .Donner sans justificationa. les images directes par 1 de {-i,n, [-i, iL H, il et [0, 2;] ;b. les images réciproques par 1 de [0,1], [0,3] et ]0,3[ ;c. les ensembles f*(I*Œf, ~])), f*(I*([O, i])) et 1*(1*([-4,1])).2. On suppose plus généralement que 1 est une application d'un ensembleE dans un ensemble F.a. Soit B un sous-ensemble de F. Montrer que 1*(I*(B)) c B. A-t-onB = 1*(I*(B)) en général?b. Montrer que 1 est surjective si et seulement si B = 1*(I*(B)) pour toutsous-ensemble B de F.Exercice IVSoit M 2(IR) l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels.Soit 1 l'application de M2(IR) dans lui-méme définie parYA E M2(IR), I(A) = A + At ,où At désigne la matrice transposée de A.1. L'application 1 est-elle injective? surjective?2. Soit R la relation sur M2(IR) définie par ARA' si et seulement si I(A) =I(A').a. Montrer que R est une relation d'équivalence.b. Donner les classes d'équivalence des matrices(0 -1) (1 0) (1 -1)10 01'11c. Trouver un sous-ensemble V de M2(IR) qui rencontre chaque classed'équivalence de R en exactement un élément.