Juin 2005

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Exercice 2 (10 points)Le but de l'exercice est d'écrire des fonctions pour représenter des ensembles et faire desopérations sur les ensembles. On choisit de representer les ensembles par des listes ordonnéesselon l'ordre décroissant. Par exemple l'ensemble {4, 5, l, 7, 2} sera représenté par la liste[7;5;4;2; 1]. L'ensemble vide 0 est représenté par la liste vide [J.eens1. Ecrire une fonction appartient : 'a -t'a list -t bool, qui teste si un élément appartientou non à un ensemble. On complétera la fonction suivante en définissant des expressionspour «RI», «R2», «R3» et «R4».let rec appartient = function e ->function [] -> «RI»1 (x: :1) -> if e=x then «R2»else if e > x then «R3»else «R4» "2. Ecrire une fonction ajoute : 'a -t'a list -t' a list, qui étant donné un élément et unensemble ajoute l'élément dans l'ensemble. Si l'élément est déjà présent dans l'ensemble,le résultat est l'ensemble inchangé.Indication: on poura écrire la fonction ajoute en utilisant le même schéma que la fonctionprécédente appartient. On prendra bien garde de rendre comme résultat un ensemble,c'est à dire une liste ordonnée de façon décroissante.3. Ecrire une fonction union : 'a list • 'a list --; 'a list, calculant la réunion de deuxensembles, c'est à dire l'ensemble des éléments appartenant à l'un au moins des deuxensembles.Completer la fonction suivante en donnant les expressions pour «31», «32», «33»,«34» et «35».let rec union function ([],s) ->«31»(s , []) -> «32»(xl::sl,x2::s2) -> if xl = x2 then «33»else if xl > x2 then «34»else «35»;;4. Ecrire une fonction inter de même type que union et calculant l'intersection de deuxensembles, c'est à dire l'ensemble des éléments communs aux deux ensembles.Indications: on pourra utiliser le même schéma que pour la fonction union.5. Ecrire une fonctionprod : 'a li st .'b list -t ('a.'b) list définissant le produit cartésien dedeux ensembles, c'est à dire l'ensemble des couples dont la première composante appartientau premier ensemble et la seconde composante appartient au second. On exige de plus quel'ensemble obtenu soit une liste ordonnée de façon décroissante par rapport aux premièrescomposantes, puis au secondes.2
, ,METHODES MATHEMATIQUES POUR LES,SCIENCES DE LA MATIERE, SM2Pierre VuillermotExamen de rattrapage, session été <strong>2005</strong>NB. Les notations utilisées sont celles des notes de cours, qui sont autorisées;les calculettes sont interdites; la qualité de la rédaction sera un critère essentielpour l'évaluation des copies.Problème 1. En invoquant des résultats du cours, déterminer si les deuxséries suivantes sont absolument convergentes, semi-convergentes ou divergentes.(a) I: In~n=l n'2+00 (<strong>2005</strong> 0 ) n'oo,(b) ~(_l)n n );,;05* * * *** **Problème 2. Déterminer le rayon de convergence et l'intervalle de convergencedes deux séries entières suivantes en précisant chaque fois s'il y a lieu letype de convergence aux extrémités de l'intervalle.(a) ~ (x+ l)nL.., n2nn=l* * * * * * **(b) ~ (x + 2)nL."n=lnn1
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