Juin 2005

Université Nancy I2005 2ème sessionDEUG MIAS 2UE 32EXAMEN D'ALGEBRE(DOCUMENTS ET CALCULATRICES INTERDITS)I Question de cours Déterminer les éléments inversibles de 'Il/n'Il.II Pour tout nEZ - {1,5}, on considère le rationneln 2 - 9a - ---=----­n - n2 _ 6n + 51. Calculer pgcd(n - 3,n - 1) selon les valeurs de n.2. Montrer que "In E 'Il - {l,5}, an t/. 'Il- {D}.III Soit 9 un groupe multiplicatif vérifiant: "Ix E g, x 2 = ego1. Soit x E g; calculer x- 1 en fonction de x.2. Soit x E g; que peut-on dire de l'ordre de x?3. Montrer que 9 est commutatif.4. Montrer que le groupe 9 engendré par les symétries orthogonales du rectangle vérifie"Ix E g, x 2 = egoIV On considère l'endomorphisme f dont la matrice dans la base canonique de JR3 estdonnée par( 84-8)A = -9 D 163 2 -21. Calculer le polynôme caractéristique de A.2. La matrice A est-elle diagonalisable? Si oui, la diagonaliser, si non, la trigonaliser.3. Calculer le polynôme minimal de A.4. Montrer que A est inversible et calculer A- 1 sous forme d'un polynôme en A.X i 8x + 4y - 8z5. Résoudre le système différentiel suivant yi -9x + 16z{z' 3x + 2y - 2zBarême indicatif: I 3 points, II 4 points, III 4 points, IV 12 points