Juin 2005

Exercice IISoit n ): 2 et soient a E lR - {O}, U =1l a1an-1et V=1a1) Calculer la matrice H = U tv, où -v désigne la transposée de Y.2) Calculer tyU puis en déduire que H 2 = nH.3) Pour tous .li E lR, on considère la matrice A = H - '\In, où In est la matrice identitén x n. Exprimer A2 en fonction de A et In-4) En déduire que A est inversible si et seulement si .lii' 0 et .lii' n. Pour .lii' 0 et .li i' n,déterminer A- I .Exercice IIIOn considère lRn[XJ l'espace des polynômes de degré au plus n ): 2. Soit cp : lRn[XJ -->lRn[X] l'application définie par:cp(P)(X) = P'(X) - X 2 pli(X)1) Montrer que cp est une application linéaire.2) Montrer que si P E Ker cp, alors deg(P) ,:;; 1.3) Donner une base et la dimension de Ker cp. En déduire la dimension de lm cp.4) Pour tous k compris entre 0 et n, on considère les polynômes Pk(X) = x». Calculercp(P k ) puis en déduire la matrice A du système de vecteurs (cp(PI), ...,cp(P n ) ) dans la base(PO,PI, ...,P n ) .5) Calculer le rang de A. En déduire que (rp(PIl, ...,cp(P n ) ) est une base de lm cp.