Inzien en bewijzen - CWI

10 HOOFDSTUK 1. HET HART VAN DE EXACTE WETENSCHAP
Verhoudingen zijn direct verbonden met breuken. De breuken zijn alle getallen van de vorm
p
q , waarbij p en q gehele getallen zijn, en de noemer q ongelijk is aan 0. We duiden de verzameling
van alle breuken aan met Q. Dit heet ook wel de verzameling van rationale getallen (getallen
die een ratio of verhouding aangeven). We schrijven een breuk p
q ook wel als p/q. Zo’n breuk
drukt eigenlijk de verhouding p : q uit.
Tot hun verbijstering ontdekten Griekse wiskundigen op zeker ogenblik dat sommige van
de lijnstukken die je met passer en liniaal kunt construeren een lengte hebben die niet als
breuk valt uit te drukken. We zagen zo-even dat je een rechthoekige gelijkbenige driehoek met
rechthoekszijde 1 en schuine zijde x, met passer en liniaal kunt construeren. Maar x is geen
breuk.
Stelling 1.1 Er bestaat geen breuk x met x 2 = 2.
Bewijs. Neem aan dat er een breuk x bestaat met x 2 = 2. Zo’n breuk heeft een teller m en een
noemer n, met m en n allebei natuurlijke getallen, en de noemer n ongelijk aan 0.
We mogen aannemen dat de breuk m/n niet verder te vereenvoudigen is, dat wil zeggen
m en n hebben geen gemeenschappelijke factoren. Preciezer: er zijn geen natuurlijke getallen
k, p, q met k = 1, m = kp and n = kq.
De breuk 2/10 kan worden vereenvoudigd, want de teller en noemer hebben een factor 2
gemeenschappelijk. Deze breuk kan door deling door 2 op haar eenvoudigste vorm worden
gebracht: 1/5. Teller en noemer hebben nu geen gemeenschappelijke factoren meer.
Goed, we nemen aan dat x = m/n, met m en n zonder gemeenschappelijke factoren. Dan
geldt: x 2 = (m/n) 2 = 2. Dus: 2 = (m/n) 2 = m 2 /n 2 , en door beide zijden met n 2 te vermenigvuldigen
vinden we: 2n 2 = m 2 . Met andere woorden: m 2 is even. Omdat kwadraten van
oneven getallen altijd oneven zijn (immers, (2n + 1) 2 = 4n 2 + 4n + 1 is oneven) moet m even
zijn. Er is dus een natuurlijk getal p met m = 2p.
Invullen van 2p voor m in 2n 2 = m 2 geeft 2n 2 = (2p) 2 = 4p 2 . Hieruit blijkt dat n 2 = 2p 2 ,
en dat leidt weer tot de conclusie dat n ook even is. Maar dat betekent dat er een natuurlijk
getal q is met n = 2q. Dit brengt ons in tegenspraak met de aanname dat m/n een breuk is in
eenvoudigste vorm: we hebben immers een gemeenschappelijke factor 2 gevonden. Hieruit volgt
dat er geen breuk x is met x 2 = 2, dat wil zeggen: de vierkantswortel uit 2 is geen breuk.
De bewering die in Stelling 1.1 wordt bewezen heeft de vorm van een ontkenning: het is
niet zo dat de wortel uit 2 een breuk is. Die ontkenning wordt aangetoond door aan te nemen
dat er wel zo’n breuk is. Uit die aanname wordt vervolgens een tegenspraak afgeleid. Later, in
hoofdstuk 5, zullen we de schematische vorm van dit bewijs verder bespreken. Nu je weet hoe
een bewijs eruitziet, kun je zelf proberen er een te leveren.
Opdracht 1.5 Bewijs de stelling van Thales: ‘Een driehoek die door een halve cirkel wordt
omschreven is een rechthoekige driehoek.’ Zie Figuur 1.4. Zie ook Thales. html op de website
bij dit boek.
We hebben hierboven laten zien dat er getallen zijn die niet als breuk te schrijven zijn. Zulke
getallen heten irrationale getallen. De verzameling van alle rationale en irrationale getallen
samen duiden we aan met R. Dit heet de verzameling van reële getallen. Verderop in dit boek
zullen vragen aan de orde komen zoals: ‘Hoeveel rationale getallen zijn er?’ ‘Zijn dat er meer
dan de natuurlijke getallen?’ ‘Hoeveel reële getallen zijn er?’