Inzien en bewijzen - CWI

42 HOOFDSTUK 3. GESCHIEDENIS VAN DE AXIOMATISCHE METHODE
punt. Waarom zouden we het ene axioma prefereren boven het andere? Je kunt allerlei redenen
bedenken voor zo’n voorkeur. Eenvoud van formulering is één zo’n reden. Vergelijk bijvoorbeeld
de oorspronkelijke versie van axioma V en principe (3). Principe (3) ziet er beduidend simpeler
uit. Naast eenvoud van formulering hebben we een andere vorm van eenvoud: het aantal begrippen
dat in een axioma gebruikt wordt. Axioma V en principe (3) maken naast de begrippen
lijn, punt en liggen op gebruik van respectievelijk het begrip hoek en het begrip afstand. Het
axioma van Playfair (principe (6)) maakt alleen gebruik van lijn, punt en liggen op. Het kan
dus ook gebruikt worden in wiskundige theorieën die alleen over lijnen en punten en liggen op
gaan. Een andere reden om de voorkeur te geven aan een axioma is makkelijke toepasbaarheid.
Geen van bovenstaande principes voldoet aan die eis. In termen van directe inzichtelijkheid zijn
er echter vele kandidaten die niet onder doen voor axioma V. Wat te denken van principe (8),
dat ons vertelt dat de notie vorm überhaupt zin heeft? Of is er iets voor de hand liggender dan
het principe van Gauss (10)? Het zou toch te gek zijn als je geen driehoeken kon maken met
een illekeurig groot oppervlak?
3.3 Saccheri’s poging om het vijfde postulaat te bewijzen
b
D E
c
A C
B
Figuur 3.6: De vierhoek van Saccheri.
De interessantste poging om het vijfde postulaat te bewijzen is van de Italiaanse priester
Girolamo Saccheri (1667–1733). Hij ging te werk volgens de strategie van het ‘bewijs door
contradictie’ (zie § 5.5). Hij nam dus aan dat het vijfde postulaat niet gold, en zette zich aan
het werk om een tegenspraak af te leiden. Zijn bedoeling was om alle fouten in Euclides’ werk
te herstellen (zijn boek uit 1733 heette Euclides ab omni naevo vindicatus, ofwel: Euclides van
elke smet gezuiverd), en wel met name de ‘fout’ van de aanname van het vijfde postulaat.
Saccheri’s bewijspoging van het vijfde postulaat maakt gebruik van de Saccheri vierhoek
die staat afgebeeld in figuur 3.6. Details zijn te vinden op de website bij dit boek, waar ook
d
a