Inzien en bewijzen - CWI

6.3. BEWIJSVERIFICATIE MET DE COMPUTER 89
van Pólya in aanraking toen hij How to Solve It? in het Hongaars vertaalde. Na de Hongaarse
opstand van 1956 vluchtte hij naar Cambridge en voltooide daar zijn proefschrift Proofs and
Refutations (Bewijzen en weerleggingen), waarin hij de gedachte ontwikkelde dat de ontwikkeling
van de wiskunde met horten en stoten gaat. Wiskundigen maken voortdurend riskante gissingen
die ze dan vervolgens proberen te bewijzen. Soms lukt dat, maar vaak ook niet. Kritiek is in de
wiskunde altijd vernietigend: de meest dodelijke manier om een gissing te bekritiseren is door
het geven van een tegenvoorbeeld.
6.3 Bewijsverificatie met de computer
Het doel van het Automath systeem, waaraan de Nederlandse wiskundige Dick de Bruijn en zijn
groep in Eindhoven in 1967 begonnen te werken, was het ontwikkelen van een raamwerk om
wiskundige theorieën in uit te drukken. De representatie moest geschikt zijn om de correctheid
ervan door een computer te kunnen laten verifiëren. De Bruijn stelde zich op het standpunt dat
wat volkomen correct was verwoord correct behoorde te zijn. Een andere norm voor correctheid
is er niet, volgens hem.
Automath is gebaseerd op de zogenaamde getypeerde lambda calculus. In termen daarvan
worden begrippen als ‘definitie’, ‘stelling’, ‘bewijs’ en ‘axioma’ gespecificeerd. Een volledig
wiskundeboek is gestructureerd als een verzameling van in elkaar geschoven dozen, precies om
de manier waarop in hoofdstuk 5 een bewijs was opgebouwd uit geneste dozen met deelbewijzen.
Openen van een doos gebeurt met de introductie van een variabele met een type-declaratie,
bijvoorbeeld: ‘Zij x een variabele van type natuurlijk getal.’ Zulke variabelen kunnen echter
ook staan voor wiskundige bewijzen. Volgens De Bruijn maakt het geen verschil of je naar een
getal of naar een bewijs verwijst, want het mechanisme dat er achter zit is hetzelfde. Dit heet:
‘bewijzen gebruiken als objecten’ (‘proofs as objects’). In een recente terugblik op het Automath
project merkt De Bruijn op:
Het Automath systeem heeft nooit de pretentie gehad om het bedenken van wiskunde
te automatiseren, en zelfs niet om de constructie van bewijzen van gegeven stellingen
te automatiseren. De Automath correctheids-checker is niets meer of minder dan een
uiterst zorgvuldige lezer van goed-gepresenteerd voltooid wiskundig materiaal.
Intussen zijn proof assistants, programma’s die bewijzen kunnen verifiëren en die ook (in
beperkte mate) kunnen helpen bij het vinden van bewijzen, te kust en te keur op internet te
vinden.
The Coq proof assistant (zie http://coq.inria.fr) is zo’n programma. Met behulp van
Coq kun je interactief (in interactie met het systeem) bewijzen ontwikkelen.