Inzien en bewijzen - CWI

2.2. OEFENEN MET BEWIJZEN 19
3. B neemt 3 lucifers. Dan neemt A 1 lucifer. B is weer aan zet, en er liggen 4n lucifers op
tafel. Volgens de inductiehypothese kan A winnen.
Het is duidelijk dat A altijd kan winnen als B aan zet is, terwijl er een viervoud aan lucifers op
tafel ligt.
Overigens hoeft de inductie niet per se bij 0 of 1 te beginnen. De volgende opdracht is een
voorbeeld met basisgeval n = 5.
Opdracht 2.1 Laat met volledige inductie zien dat 2 n > n 2 voor elk natuurlijk getal n met
n ≥ 5.
Als je de bewering uit opdracht 2.1 zou proberen aan te tonen met basisgeval n = 0 (of n = 1,
of n = 2, of n = 3, of n = 4), dan zou dat niet lukken.
2.2 Oefenen met bewijzen
De eenvoudigste vorm van rekenen is het optellen en vermenigvuldigen met natuurlijke getallen.
We definiëren nu het volgende begrip voor het rekenen met natuurlijke getallen. Als a en b
natuurlijke getallen zijn, zeggen we dat a deler is van b, als er een natuurlijk getal N is met de
eigenschap dat aN = b. Met andere woorden: als je b door a deelt, krijg je uitkomst N, met
rest 0. We korten ‘a is deler van b’ af als a|b.
Hier is een eerste voorbeeld van een bewering over natuurlijke getallen die we gaan proberen
te bewijzen. Bewijzen wil niets anders zeggen dan: laten zien waarom dit zo is.
Opdracht 2.2 Laat zien: als a, b, c natuurlijke getallen zijn met a|b en b|c, dan geldt ook a|c.
De methode die je kunt toepassen: aannemen dat a|b en b|c allebei het geval zijn, en laten zien
dat hieruit volgt dat a|c ook het geval moet zijn.
De volgende twee opdrachten hebben betrekking op een functie die we definiëren met behulp
van het begrip ‘deler zijn van’. We spreken af dat KD een functie is van natuurlijke getallen
naar natuurlijke getallen die elk natuurlijk getal n dat groter is dan 1 afbeeldt op de kleinste
deler van n die ongelijk is aan 1. Bijvoorbeeld, KD beeldt 2 af op 2, 3 op 3, 4 op 2, enzovoort.
Met andere woorden: KD(n) is de kleinste deler van n. Dit wil zeggen dat KD(n) voldoet aan
de volgende drie eisen (aangenomen dat n groter is dan 1):
1. KD(n) = 1,
2. KD(n)|n,
3. als m|n en m = 1 dan m ≥ KD(n).
Opdracht 2.3 Laat zien: als n > 1 dan is KD(n) een priemgetal. Hint: neem aan dat n > 1
en dat KD(n) geen priemgetal is, en laat zien dat die combinatie van aannamen een tegenspraak
oplevert.
Opdracht 2.4 Laat zien: als n > 1 en n is geen priemgetal, dan is (KD(n)) 2 ≤ n.