Inzien en bewijzen - CWI

3.6. RIEMANN MEETKUNDE 47
b
E
c
A C B
d
D
Figuur 3.10: De Saccheri vierhoek in het Klein-Beltrami model.
Opdracht 3.4 Laat in het Klein-Beltrami model zien: gegeven een punt en een bf lijn is er
een loodlijn door dat punt op die lijn. Aanwijzing: je hebt de definitie van ‘loodrecht’ in het
Klein-Beltrami model nodig.
Het is instructief om te zien hoe de Saccheri vierhoek zich in het Klein-Beltrami model
gedraagt. Zie figuur 3.10 en de interactieve pagina SaccheriKB.html op de website bij dit boek.
3.6 Riemann meetkunde
Zowel Saccheri als Bolyai had uit de veronderstelling dat er in een punt buiten een lijn geen parallel
met een gegeven lijn te vinden is (Saccheri’s ‘hypothese van de stompe hoek’) een tegenspraak
afgeleid met de overige aannamen van de euclidische meetkunde. Als we echter de aanname laten
vallen dat lijnen oneindig kunnen worden doorgetrokken, volgt er geen tegenspraak, en krijgen
we een alternatieve vorm van niet-euclidische meetkunde.
Georg Riemann (1826–1866) zag in dat de ‘hypothese van de stompe hoek’ geldig wordt
zodra we bereid zijn postulaten I, II en V als volgt te herzien.
I’ Elk tweetal punten bepaalt minstens één lijn.
II’ Een lijn is onbegrensd.
V’ Twee lijnen in hetzelfde vlak snijden elkaar altijd.
Hij stelde hiervoor als model een tweedimensionale wereld voor die bestaat uit het oppervlak
van een bol. We definiëren in deze wereld een rechte lijn als een grootcirkel van een bol,
met de kanttekening dat tegenover elkaar op de bol gelegen punten (polaire punten) worden
geïdentificeerd. Een grootcirkel van een bol is een cirkel op het boloppervlak die ontstaat door
de bol te snijden met een vlak dat door het middelpunt van de bol gaat. Het is duidelijk dat
in zo’n wereld twee lijnen elkaar altijd snijden. Immers, twee vlakken door het middelpunt van
F
a