Inzien en bewijzen - CWI

74 HOOFDSTUK 5. RECEPTEN VOOR BEWIJS-CONSTRUCTIE
5.4 Negatie
Gegeven: P desda Q, Q, . . .
Dus P
Introductieregel. Om iets van de vorm niet P te bewijzen probeer je uit de aanname P een
tegenspraak af te leiden. Een tegenspraak krijg je als je erin slaagt om zowel Q als niet Q af
te leiden (voor een of andere bewering Q). Als dat lukt onder de aanname P , dan klopt er iets
niet, en dan is niet P kennelijk het geval. Als we ⊥ gebruiken voor een tegenspraak, kunnen we
deze regel als volgt opschrijven.
Gegeven: . . .
Te bewijzen: niet P
Bewijs:
Stel P
Te bewijzen: ⊥
Bewijs: . . .
Dus niet P .
De bewijzen van Stelling 1.1 en 1.2 hebben deze vorm. Figuur 5.1 geeft stelling 1.1 nogmaals,
met het bewijs in doosformaat. De bewering Q waarvoor we de tegenspraak Q samen met niet
Q afleiden is hier: ‘ m
n is een breuk in eenvoudigste vorm.’
Wanneer niet P in het gegeven voorkomt kun je proberen eerst P af te leiden. Wanneer dat
lukt kun je uit de combinatie van niet P en P concluderen wat je maar wilt:
Gegeven: P , niet P
Dus Q.
Immers, de combinatie van gegevens ‘P , niet P ’ is zelf al een tegenspraak. Zoiets kan in
geen enkele situatie voorkomen. Q concluderen kan de zaak dus niet erger maken dan zij al is.