Inzien en bewijzen - CWI

46 HOOFDSTUK 3. GESCHIEDENIS VAN DE AXIOMATISCHE METHODE
Figuur 3.9: ‘Loodrecht staan op’ in het Klein-Beltrami model.
Dit herinterpreteren van de euclidische begrippen lijkt een beetje een goedkope truc. Het
is immers nogal wiedes dat, als we afspreken om de woorden lijn en parallel anders te gaan
gebruiken, de dingen die we nu ‘parallelle lijnen’ noemen heel andere eigenschappen zullen
hebben dan echte parallelle lijnen. Met name is duidelijk dat er bij bovenstaande herinterpretatie
door een gegeven punt meerdere lijnen parallel zijn aan een gegeven lijn.
Wie dit een goedkope truc vindt heeft de pointe gemist. De pointe is dat het bestaan van
modellen waarin postulaten I tot en met IV waar zijn, terwijl V onwaar is, laat zien dat er in elk
‘bewijs’ van postulaat V uit de postulaten I–IV een fout moet zitten. Immers, als in zo’n bewijs
echt alleen maar gebruik is gemaakt van van postulaten I–IV, dan zou de conclusie uit dat bewijs
moeten gelden in elke situatie waarin postulaten I tot en met IV opgaan, en in de situatie van
het Klein-Beltrami model gaat postulaat V juist niet op. Het bestaan van het Klein-Beltrami
model laat dus zien dat het onmogelijk is postulaat V uit de postulaten I–IV af te leiden.
Het construeren van het Klein-Beltrami model bestaat uit het herinterpreteren van een aantal
begrippen uit de euclidische meetkunde, terwijl andere begrippen juist hun oorspronkelijke
euclidische interpretatie houden. Punten in het Klein-Beltrami model zijn gewoon punten in
het euclidische vlak waar dat model in ligt. Lijnen in het Klein-Beltrami model corresponderen
met cirkelkoorden in het euclidische model. Snijden van lijnen in het Klein-Beltrami model
correspondeert met snijden van cirkelkoorden in het euclidische model. Afstand in het euclidische
model correspondeert niet met afstand in het Klein-Beltrami model. Ook correspondeert
de hoek in het euclidische model niet met de hoek in het Klein-Beltrami model. Dit wordt
geïllustreerd door de definitie van loodrecht op elkaar staan uit het Klein-Beltrami model.
Opdracht 3.3 Als in het euclidische vlak twee snijdende lijnen l en m gegeven zijn en P is
een punt buiten deze lijnen, dan zal elke lijn door P minstens één van de lijnen l en m snijden.
Laat met behulp van een tekening zien dat dit in het Klein-Beltrami model niet zo is.
A
b
a