84 HOOFDSTUK 5. RECEPTEN VOOR BEWIJS-CONSTRUCTIE Opdracht 5.4 De ver<strong>en</strong>iging van twee verzameling<strong>en</strong> A <strong>en</strong> B is de verzameling van alle ding<strong>en</strong> die in A of in B zitt<strong>en</strong> (of desnoods in allebei). Formeel: A ∪ B = {x | x ∈ A of x ∈ B}. De vraag is: geldt dat ℘(A ∪ B) = ℘A ∪ ℘B? Geef e<strong>en</strong> bewijs of e<strong>en</strong> teg<strong>en</strong>voorbeeld. In het algeme<strong>en</strong> zijn er als je e<strong>en</strong> wiskundige bewering onderzoekt drie mogelijkhed<strong>en</strong>. • Je slaagt erin de bewering te bewijz<strong>en</strong>. De bewering is dus e<strong>en</strong> wiskundige stelling. • Je slaagt erin de bewering te weerlegg<strong>en</strong> door het gev<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> teg<strong>en</strong>voorbeeld. De bewering is daarmee e<strong>en</strong> weerlegd vermoed<strong>en</strong>. • Noch het e<strong>en</strong>, noch het ander. Dit kan betek<strong>en</strong><strong>en</strong> dat je e<strong>en</strong> zog<strong>en</strong>aamd op<strong>en</strong> probleem uit de wiskunde bij de kop hebt. Zulke op<strong>en</strong> problem<strong>en</strong> zijn er te over. Maar het kan natuurlijk ook dat je net niet slim g<strong>en</strong>oeg b<strong>en</strong>t geweest, <strong>en</strong> dat e<strong>en</strong> andere wiskundige er wel in geslaagd is voor de bewering e<strong>en</strong> bewijs of weerlegging te vind<strong>en</strong>. E<strong>en</strong> voorbeeld van e<strong>en</strong> bewering die met e<strong>en</strong> teg<strong>en</strong>voorbeeld kon word<strong>en</strong> weerlegd was de claim van Pierre de Fermat dat alle natuurlijke getall<strong>en</strong> van de vorm 22n + 1 priemgetall<strong>en</strong> zijn. Zie bladzijde 25. En hier zijn e<strong>en</strong> paar voorbeeld<strong>en</strong> van op<strong>en</strong> vrag<strong>en</strong> (vrag<strong>en</strong> waar, op het mom<strong>en</strong>t dat dit boek ter perse gaat, ge<strong>en</strong> <strong>en</strong>kele wiskundige het antwoord op weet) over priemgetall<strong>en</strong>: • E<strong>en</strong> priempaar is e<strong>en</strong> paar van getall<strong>en</strong> (p, p + 2) met de eig<strong>en</strong>schap dat zowel p als p + 2 priemgetall<strong>en</strong> zijn. Voorbeeld<strong>en</strong> van priempar<strong>en</strong> zijn: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271). De vraag Is er e<strong>en</strong> grootste priempaar? is e<strong>en</strong> op<strong>en</strong> vraag. • E<strong>en</strong> Mers<strong>en</strong>ne priemgetal is e<strong>en</strong> priemgetal van de vorm 2 p −1, waarbij p ook e<strong>en</strong> priemgetal is. De vraag Is er e<strong>en</strong> grootste Mers<strong>en</strong>ne priemgetal? is e<strong>en</strong> op<strong>en</strong> vraag. Er word<strong>en</strong> met behulp van computers steeds grotere Mers<strong>en</strong>ne priemgetall<strong>en</strong> gevond<strong>en</strong> (google naar GIMPS = “Great Internet Mers<strong>en</strong>ne Prime Search” op internet als je aan die zoektocht wilt meedo<strong>en</strong>), maar e<strong>en</strong> bewijs dat er oneindig veel Mers<strong>en</strong>ne priemgetall<strong>en</strong> zijn is nooit door iemand geleverd. • In e<strong>en</strong> brief van Goldbach aan Euler (uit 1747, later dus dan de brief die op bladzijde 25 ter sprake kwam) stond e<strong>en</strong> suggestie die er ruwweg op neerkwam dat elk ev<strong>en</strong> natuurlijk getal groter dan twee de som is van twee priemgetall<strong>en</strong>. Bijvoorbeeld: 4 = 2+2, 6 = 3+3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, maar ook: 10.000 = 59 + 9941, 100.000 = 11 + 99989 1048576 = 3 + 1048573. Let wel, het ev<strong>en</strong> getal mag op meerdere manier<strong>en</strong> als som van twee priem<strong>en</strong> te schrijv<strong>en</strong> zijn. Voor 1048576 = 2 20 zijn er bijvoorbeeld heel veel meer mogelijkhed<strong>en</strong>: (3+1048573), (5+1048571), (17+1048559), (59+1048517), (233+1048343), (359+1048217), (383 + 1048193), (449 + 1048127), (563 + 1048013), (569 + 1048007), (587 + 1047989), <strong>en</strong>zovoort. Of Euler daarvoor e<strong>en</strong> bewijs wist. Dat wist Euler niet, <strong>en</strong> tot op de dag van vandaag zijn er ge<strong>en</strong> teg<strong>en</strong>voorbeeld<strong>en</strong> gevond<strong>en</strong>, maar is er ook ge<strong>en</strong> bewijs geleverd.
5.10. BEWIJZEN, TEGENVOORBEELDEN, OPEN PROBLEMEN 85 Wanneer er e<strong>en</strong> op<strong>en</strong> probleem met e<strong>en</strong> lange geschied<strong>en</strong>is wordt opgelost, zoals bijvoorbeeld gebeurde to<strong>en</strong> Andrew Wiles de laatste stelling van Fermat bewees (zie blz. 100), dan is dat groot wet<strong>en</strong>schappelijk nieuws.
Change language