Inzien en bewijzen - CWI

78 HOOFDSTUK 5. RECEPTEN VOOR BEWIJS-CONSTRUCTIE
Het volgende voorbeeld is een variant op het curieuze voorbeeld dat we in 5.5 hebben gezien.
Zij R, de verzameling van reële getallen, het discussiedomein, en laat P (x) de volgende eigenschap
zijn:
√
2
x /∈ Q en x ∈ Q.
Hier staat Q voor de verzameling van alle breuken. Met andere woorden, x heeft eigenschap P
dan en slechts dan als x geen breuk is, maar x √ 2 is wel een breuk. We zullen nu laten zien dat
of √ 2 of √ √
2
2 deze eigenschap P heeft.
Er geldt hoe dan ook: √ √ √
2 √ 2
2 ∈ Q of 2 /∈ Q.
Stel √ √
2
2 ∈ Q.
Dan weten we, omdat √ 2 /∈ Q (Stelling 1.1), dat √ 2 eigenschap P heeft.
Stel √ √
2
2 /∈ Q.
Dan weten we, omdat ( √ √ √ √ √ √
2)
2
2 √ 2· 2 √ 2 √ 2
= 2 = 2 = 2 ∈ Q, dat 2 eigenschap P heeft.
Hieruit volgt: P ( √ 2) of P ( √ √
2).
2
5.7 Universele bewering
Wanneer je een universele bewering ‘Voor alle x: A(x)’ moet bewijzen moet het bewijs altijd
beginnen met: ‘Stel dat c een willekeurig ding is’ of ‘Laat c een willekeurig ding zijn.’ Vervolgens
laat je zien dat c voldoet aan A(c), en klaar. De truc is dat je over c niets aanneemt; met name
mag c niet eerder in het bewijs gebruikt zijn. Omdat je geen specifieke informatie over c gebruikt,
geldt wat je bewijst van elke c. Het schema wordt dus:
Gegeven: . . .
Te bewijzen: Voor elke x: A(x)
Bewijs:
Stel c is een willekeurig ding
Te bewijzen: A(c)
Bewijs: . . .
Dus voor elke x: A(x).
In het geval dat de universele bewering beperkt is tot een of andere verzameling D begin je
met ‘Stel dat c een willekeurig ding in D is.’ Het schema wordt dan: