Inzien en bewijzen - CWI

Hoofdstuk 2
(In)zien en bewijzen
2.1 Natuurlijke getallen en volledige inductie
In deze eerste paragraaf voeren we een belangrijke bewijsmethode in. Zoals we later zullen zien
levert deze methode wel altijd zekerheid maar niet altijd inzicht.
De natuurlijke getallen zijn 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .. We duiden de verzameling van alle natuurlijke
getallen aan met N. De natuurlijke getallen zijn fundamenteel voor het aftellen van eindige
hoeveelheden dingen. Verderop in dit boek zullen we zien dat de natuurlijke getallen ons in de
steek laten bij het aftellen van oneindige hoeveelheden.
Het is gebruikelijk het getal 0 bij de natuurlijke getallen te rekenen. Het heeft overigens tot in
de Renaissance geduurd voor wiskundigen zich enigszins op hun gemak voelden met het getal 0.
Indiase wiskundigen rekenden al voor het begin van onze jaartelling met 0, maar de oude Grieken
beschouwden 0 niet als een getal. Het getal 0 is handig voor positionele getalnotatie (de 1 in 10
heeft een andere waarde dan de 1 in 1000, vanwege de andere positie). Positionele getalnotatie
was iets wat de Grieken niet hadden, maar de Babyloniërs weer wel. Bij de Babyloniërs was de
positionele getalnotatie echter dubbelzinnig. Juist omdat zij het getal 0 niet hadden, maakten
ze aanvankelijk geen onderscheid tussen (bij voorbeeld) 216 en 2106.
Aan het eind van de Middeleeuwen beschreef de Italiaan Leonardo Fibonacci (1170–1250) de
negen Indiase symbolen voor wat wij nu de ‘arabische cijfers’ noemen (de positionele getalnotatie
was ook in India uitgevonden, en van daar door Arabieren in Europa geïmporteerd), plus het
symbool voor nul. Interessant genoeg introduceert hij 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 als ‘getallen’, maar
noemt hij 0 een ‘teken’. Helemaal lekker zat dit nieuwe getal hem kennelijk nog niet.
Je kunt je de natuurlijke getallen als volgt voorstellen.
• Het getal 0 is gegeven.
• Als je bij een getal n bent aangekomen, dan is er altijd een volgend getal, namelijk n + 1,
het getal dat je krijgt door 1 bij n op te tellen.
• Er is geen natuurlijk getal dat je niet in een eindig aantal stappen vanaf 0 kunt bereiken.
Het feit dat je elk natuurlijk getal in een eindig aantal stappen vanaf 0 kunt bereiken maakt het
mogelijk om beweringen van de vorm ‘Voor elk natuurlijk getal n geldt dat . . . ’ met behulp van
volledige inductie te bewijzen. Het bewijsstramien van een bewijs met volledige inductie is als
volgt:
17