Inzien en bewijzen - CWI

38 HOOFDSTUK 3. GESCHIEDENIS VAN DE AXIOMATISCHE METHODE
k
m
β
α
Figuur 3.2: Een gevolg van postulaat V: α = δ en β = γ.
lijn liggen, dan moet een van die punten tussen de twee andere liggen. Dan zijn er immers drie
mogelijkheden: A ligt op het lijnstuk BC, B ligt op het lijnstuk AC, of C ligt op het lijnstuk
AB. Hoe je dit begrip ‘liggen tussen’ moet gebruiken wordt echter niet uitgelegd. Nu zou je
kunnen denken dat iedereen zonder uitleg toch wel weet wat ‘liggen tussen’ betekent. Maar dat
is hier niet genoeg, want voor echt weten wat ‘liggen tussen’ betekent in de zin waar het hier
om draait zijn twee dingen nodig:
δ
1. weten hoe je het gegeven dat x tussen y en z ligt mag gebruiken in een bewijs van iets
anders, en
2. weten wat je moet doen om de bewering ‘x ligt tussen y en z’ te bewijzen.
Bij Euclides speelt de aanschouwing wel degelijk nog een rol. Dat blijkt al uit zijn allereerste
stelling, die luidt: voor elk gegeven lijnstuk bestaat er een gelijkzijdige driehoek met dat lijnstuk
als een van de zijden. Euclides geeft dan de bekende constructie die je ziet in figuur 3.5.
Laat AB het gegeven lijnstuk zijn. Trek een cirkel met middelpunt A die door B gaat. Trek
vervolgens een cirkel met middelpunt B die door A gaat. Noem een van de punten waar de cirkels
elkaar snijden C, en voilà, △ABC is een gelijkzijdige driehoek. Maar het merkwaardige feit doet
zich voor dat je uit de postulaten van Euclides niet kunt afleiden dat de twee cirkels elkaar in een
punt C zullen snijden. Daarvoor is een extra axioma nodig dat pas in de negentiende eeuw voor
het eerst werd geformuleerd door Dedekind (1831–1916), het zogenaamde continuïteitsaxioma.
Laat de verzameling van alle punten op een lijn l de vereniging zijn van twee puntverzamelingen
V en W , met de eigenschap dat geen punt uit V tussen twee punten
uit W ligt en andersom. Dan is er een uniek punt P op l met de eigenschap dat P
op het lijnstuk QR ligt precies dan wanneer Q ∈ V en R ∈ W .
γ
l