Inzien en bewijzen - CWI

48 HOOFDSTUK 3. GESCHIEDENIS VAN DE AXIOMATISCHE METHODE
C
Figuur 3.11: In het Riemann model snijden alle lijnen.
een bol hebben altijd een lijn l gemeenschappelijk, en de grootcirkels die in die vlakken liggen
snijden elkaar in de snijpunten van l met de bol.
Door een punt op het boloppervlak buiten een gegeven lijn bestaat dus geen parallel aan
die lijn. Zie figuur 3.11. De figuur maakt duidelijk dat hoe kleiner een driehoek hoe kleiner de
afwijking van het euclidische geval.
Merk op dat een punt in de Riemann meetkunde correspondeert met twee tegenover elkaar
gelegen punten op de bol. In figuren 3.11 en 3.12 zie je die tweelingpunten aan de achterkant
van de bol als schaduwen.
Opdracht 3.5 In de euclidische meetkunde geldt dat twee punten een lijn bepalen: door elk
tweetal punten gaat precies één lijn. Dat zou voor Riemann meetkunde ook moeten opgaan.
Maar neem de Noord- en de Zuidpool van de Riemann bol: daar gaan oneindig veel verschillende
grootcirkels doorheen. Hoe zit dit?
Opdracht 3.6 Hoe zou je in de Riemann meetkunde het begrip ‘afstand’ moeten opvatten?
Opdracht 3.7 Wat kun je in de Riemann meetkunde zeggen over de som van de hoeken van
een driehoek?
3.7 Waar deductieve systemen over gaan
Een deductief systeem is een geheel van axioma’s en redeneerregels. De postulaten en de redeneerregels
van de euclidische meetkunde kunnen worden opgevat als een deductief systeem.
Er zijn twee manieren waarop we tegen de interpretatie en waarheid van deductieve systemen
A
b
B
a
c