Inzien en bewijzen - CWI

2.6. HET GGD-ALGORITME VAN EUCLIDES 27
Inderdaad, 6 is de grootste gemene deler van 30 en 84, want 6 deelt beide getallen, en er is geen
groter getal dan 6 dat beide getallen deelt.
Opdracht 2.11 Voer zelf dit algoritme uit voor het getallenpaar a = 90, b = 42, en voor het
getallenpaar a = 90, b = 43.
Maar waarom geeft het algoritme de grootste gemene deler van a en b?
Stelling 2.1 Als a > b, dan is d deler van a en b dan en slechts dan als d deler van a − b en b
is. Als a < b, dan is d deler van a en b dan en slechts dan als d deler van a en b − a is.
Opdracht 2.12 Bewijs Stelling 2.1.
Waarom volgt hier nu uit dat Euclides’ algoritme inderdaad de grootste gemene deler uitrekent?
Wat Stelling 2.1 zegt is dat elke lus door het algoritme de verzameling delers hetzelfde laat, in
de volgende zin: de delers van ai en bi zijn hetzelfde als de delers van ai+1 en bi+1.
Maar dan behoudt elke lus door het algoritme ook de grootste gemene deler van a en b.
Omdat de getallen bij elke lus kleiner worden, weten we ook dat het algoritme na het doorlopen
van een eindig aantal lussen moet stoppen. Het algoritme stopt met ak = bk. Omdat ak zeker
de grootste gemene deler is van ak en bk, is ak dus ook de grootste gemene deler van a0 en b0,
dat wil zeggen van a en b.
Het GGD algoritme van Euclides kan worden gebruikt om een belangrijke eigenschap van
grootste gemene delers te bewijzen. De GGD van 30 en 84 is 6, en we hebben dat 3 · 30 − 84 = 6.
De GGD van 24 en 36 is 12, en we hebben dat 2 · 24 − 36 = 12. De GGD van 18 en 24 is 6, en
we hebben dat 24 − 18 = 6. De GGD van 3 en 5 is 1, en we hebben dat −3 · 3 + 2 · 5 = 1. In
het algemeen geldt:
Stelling 2.2 Als a en b positieve natuurlijke getallen zijn, dan zijn er gehele getallen m en n
met ma + nb = GGD(a, b).
Bewijs. Beschouw de paren (a0, b0), (a1, b1), . . . , (ak, bk) die worden gegenereerd door het algoritme
van Euclides. We weten dat a0 = a en b0 = b, en dat ak = bk = GGD(a, b). a0 voldoet
aan a0 = ma + nb voor m = 1, n = 0, en b0 voldoet aan b0 = ma + nb voor m = 0, n = 1.
Neem aan dat ai voldoet aan ai = m1a + n1b en bi voldoet aan bi = m2a + n2b. Als ai > bi,
dan voldoet ai+1 aan ai+1 = (m1 − m2)a + (n1 − n2)b en bi+1 aan bi+1 = m2a + n2b. Als ai < bi,
dan voldoet ai+1 aan ai+1 = m1a + n1b en bi+1 aan bi+1 = (m2 − m1)a + (n2 − n1)b. Dus elke lus
door Euclides’ algoritme behoudt het feit dat ai and bi van de vorm ma + nb zijn, voor geschikte
m, n.
Dit laat zien dat er gehele getallen m, n zijn met ak = ma + nb, en dus dat ma + nb =
GGD(a, b).
Dit resultaat stelt ons in staat om een belangrijke eigenschap van priemdelers te bewijzen.
Stelling 2.3 Als p een priemgetal is dat ab deelt, dan moet p minstens een van de getallen a
en b delen.