Inzien en bewijzen - CWI

4.4. EINDIG EN AFTELBAAR ONEINDIG 59
0 → 1/1 → 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 · · ·
↙ ↙ ↙ ↙ ↙
2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 2/6 · · ·
↙ ↙ ↙ ↙
3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 3/6 · · ·
↙ ↙ ↙
4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 4/6 · · ·
↙ ↙
5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 5/6 · · ·
↙
6/1 6/2 6/3 6/4 6/5 6/6 · · ·
etc.
.
.
Dit is nog niet precies een bijectie, want sommige breuken komen in meer dan een gedaante
voor, bijvoorbeeld als 1/1, 2/2, 3/3, enzovoorts. Sla de dubbelgangers gewoon over, en je krijgt
een bijectie.
Opdracht 4.5 Kun je een formule in t en n (t voor teller en n voor noemer) bedenken voor de
functie die de paren (t, n) precies in de goede volgorde afloopt, zonder de dubbelgangers over te
slaan? Om te zien hoe je dit aan moet pakken bekijken we eerst een speciaal geval, zeg de breuk
4/3. Om het rangnummer van deze breuk te vinden merk je op dat 4/3 in de aftelling ligt op
de diagonaal die volgt op de driehoek met hoekpunten 1/1, 1/5 en 5/1. Na 5/1 is 4/3 de vierde
breuk op de volgende diagonaal. De driehoek met hoekpunten 1/1, 1/5 en 5/1 bevat de helft van
het aantal breuken in de rechthoek met hoekpunten 1/1, 1/5, 6/1 en 6/5. De breuk 4/3 heeft dus
+ 4 = 19. Doe nu zelf het algemene geval.
rangnummer 5×6
2
Goed, we weten nu dat de verzameling van positieve breuken aftelbaar is. Maar dan is zeker
ook de verzameling Q van alle breuken aftelbaar. Immers, als de positieve breuken aftelbaar
zijn, dan zeker ook de negatieve breuken. Om alle breuken af te tellen nemen we eerst 0, en
vervolgens om en om een positieve en een negatieve breuk, gebruikmakend van de aftelling f
voor positieve breuken die we al hadden. Dus:
0 −→ 0
1 −→ f(1)
2 −→ −f(1)
3 −→ f(2)
4 −→ −f(2)
.
Op dit punt aangekomen in de uitleg over eindig en oneindig is het gebruikelijk een bezoek
te brengen aan het zogenaamde Hilbert Hotel. Het Hilbert Hotel, genoemd naar de Duitse
wiskundige David Hilbert, is een hotel met aftelbaar oneindig veel kamers.
Opdracht 4.6 Op een goede dag is het Hilbert Hotel volledig bezet.
• • • • • • • • • • · · ·
.
.
.