Inzien en bewijzen - CWI

4.6. DE STELLING VAN CANTOR–SCHRÖDER–BERNSTEIN 63
We zullen nu laten zien dat deze manier van definiëren B verschillend maakt van alle leden
van F [A]. Immers, laat C een verzameling in F [A] zijn. Dan is er een a ∈ A met F (a) = C.
Nu zijn er twee mogelijkheden: (i) a ∈ C en (ii) a /∈ C. In geval (i) geldt dat a ∈ F (a), en dan
volgt uit de definitie van B dat a niet in B zit, in geval (ii) geldt volgens diezelfde definitie dat
a juist wel in B zit. In beide gevallen is B dus verschillend van C.
Hieruit volgt meteen dat B /∈ F [A], dat wil zeggen: B kan niet het F -beeld kan zijn van
enig element van A. Dit is in tegenspraak met onze aanname dat F een bijectie is tussen A en
℘(A). Dus is er geen bijectie tussen A en ℘(A).
Uit Stelling 4.2 plus het feit dat f : A → ℘(A) gegeven door f(a) = {a} een injectie is
volgt dat voor elke verzameling A geldt dat haar machtsverzameling ℘(A) groter is dan A.
Dit toont het bestaan aan van het paradijs van Cantor: een overvloed van verzamelingen met
steeds hogere graden van oneindigheid. Bijvoorbeeld: de verzameling N is aftelbaar oneindig.
De verzameling ℘(N) is overaftelbaar. De verzameling ℘(℘(N)) — die bestaat uit families van
getallenverzamelingen — is groter dan ℘(N), en zo gaat dat maar door.
4.6 De stelling van Cantor–Schröder–Bernstein
We zullen nu het volgende laten zien: als A minstens even groot is als B en andersom, dan zijn
A en B even groot. Dit is geen flauwiteit, want A en B zouden oneindig groot kunnen zijn, een
mogelijkheid die we verderop zullen illustreren. Het nu volgende bewijs is van de wiskundigen
John Conway en Peter Doyle [2]. We gebruiken A B voor ‘Er is een injectie van A naar B’
en A ∼ B voor “Er is een bijectie tussen A en B’.
Stelling 4.3 (Stelling van Cantor-Schröder-Bernstein) Als A en B verzamelingen zijn
met A B en B A, dan geldt A ∼ B.
Bewijs. Hoewel dit voor het bewijs niet essentieel is, nemen we voor het gemak aan dat A en
B geen elementen gemeen hebben. We kunnen de verzamelingen immers altijd disjunct maken,
bijvoorbeeld door A te vervangen door {(0, a) | a ∈ A} en B door {(1, b) | b ∈ B}. Voor wie
visueel is ingesteld: we kleuren de elementen uit A wit en die uit B zwart.
We mogen aannemen dat er injecties f : A → B en g : B → A zijn. Met behulp van die twee
injecties gaan we nu een één-op-één correspondentie tussen A en B construeren.
Daartoe visualiseren we A als een verzameling witte stippen, en B als een verzameling zwarte
stippen. De injectie f geven we aan als een verzameling gestippelde pijlen van witte naar zwarte
stippen, de injectie g als een verzameling zwarte pijlen van zwarte naar witte stippen.
Laten we de witte stippen even de meisjes noemen, en de zwarte stippen de jongens. Er
mogen overaftelbaar veel jongens en meisjes zijn: over de grootte van A en B hebben we niets
aangenomen.
Het plaatje geeft dan een huwelijksmarkt te zien, waarbij elke jongen één meisje op het oog
heeft, en elk meisje één jongen. Wat we nu moeten laten zien is dat we een massahuwelijk