Inzien en bewijzen - CWI

3.4. NIET-EUCLIDISCHE MEETKUNDE 43
een interactieve pagina Saccheri.html te vinden is. Daar wordt aangetoond, zonder gebruik
te maken van het vijfde postulaat, dat de twee tophoeken van de Saccheri vierhoek aan elkaar
gelijk zijn. Er zijn nu precies drie mogelijkheden.
1. De tophoeken zijn rechte hoeken.
2. De tophoeken zijn stompe hoeken (groter dan rechte hoeken).
3. De tophoeken zijn scherpe hoeken (kleiner dan rechte hoeken).
Saccheri liet zien dat als een van deze drie hypothesen opgaat voor een bepaalde Saccheri vierhoek,
de hypothese moet gelden voor elke Saccheri vierhoek. Het kostte Saccheri niet veel moeite
om aan te tonen dat uit de aanname dat de tophoeken recht zijn, het vijfde postulaat kan worden
afgeleid. Ook lukte het hem uit de aanname dat de tophoeken stomp zijn, een contradictie af
te leiden. Anders was het gesteld met de aanname dat de tophoeken scherp zijn.
Saccheri exploreerde de ‘hypothese van de scherpe hoeken’, in de hoop en verwachting op
een tegenspraak te stuiten. Er gebeurde nu echter iets merkwaardigs. Saccheri leidde allerlei
vreemde stellingen af, zoals de volgende.
• De som van de hoeken van een driehoek is kleiner dan twee rechte hoeken.
• Twee rechte lijnen in hetzelfde vlak hebben ofwel een gemeenschappelijke loodlijn, ofwel
ze snijden elkaar op eindige afstand van een gegeven punt op een van de lijnen, ofwel ze
komen steeds dichter bij elkaar zonder elkaar ooit te snijden.
• In een punt buiten een rechte lijn zijn altijd twee rechte lijnen aan te wijzen die de rechte
lijnen die de eerste rechte lijn snijden afgrenzen van de rechte lijnen die dat niet doen. Onder
de rechte lijnen die de eerste rechte lijn niet snijden is er een die een gemeenschappelijke
loodlijn heeft met die eerste lijn (figuur 3.7).
Figuur 3.7: Oneindig veel lijnen parallel aan een gegeven lijn.
Saccheri had in feite een nieuwe wereld ontdekt, maar zonder het zelf te beseffen. Hij eindigt
zijn boek met de conclusie dat de stellingen die hij afgeleid heeft aantonen dat ‘de hypothese
van de scherpe hoek absoluut onjuist is, omdat hij strijdig is met de aard van de rechte lijn.’
3.4 Niet-euclidische meetkunde
Saccheri’s poging om een contradictie af te leiden uit het vijfde postulaat had een nieuwe wereld
kunnen openen, maar om die nieuwe wereld te kunnen betreden moest je allereerst geloven dat