Inzien en bewijzen - CWI

58 HOOFDSTUK 4. REDENEREN OVER ONEINDIGHEID
4.4 Eindig en aftelbaar oneindig
Met behulp van het begrip bijectie is het ook mogelijk een precieze definitie te geven van het
begrip eindige verzameling. Een verzameling A is eindig wanneer er een natuurlijk getal n is,
zo dat er een bijectie is tussen A en {m ∈ N | m < n}. Met andere woorden: een verzameling
is eindig wanneer er een één-op-één correspondentie te vinden is tussen die verzameling en
de verzameling {0, 1, . . . , n − 1}, voor zekere n ∈ N. De één-op-één correspondentie ‘telt’ de
elementen van de verzameling. Let op: we laten het tellen beginnen by 0. Uit onze definitie van
‘eindig’ volgt dat ∅ een eindige verzameling is.
Een verzameling die niet eindig is noemen we oneindig. Een oneindige verzameling is dus
een verzameling die niet in één-op-één correspondentie gebracht kan worden met een beginstuk
van N. Hoe weten we nu dat N oneindig is? Strikt genomen zou je daarvoor moeten bewijzen
dat N niet in één-op-één correspondentie gebracht kan worden met een beginstuk van N. Dit
kan door met volledige inductie naar n te bewijzen dat voor elke n ∈ N geldt dat er geen bijectie
bestaat tussen N en {0, . . . , n − 1}, maar zo’n bewijs is alleen voor scherpslijpers.
Twee verzamelingen zijn even groot als er een bijectie bestaat tussen die verzamelingen. We
gebruiken A ∼ B om aan te geven dat er een bijectie bestaat tussen A en B. Verzameling A is
minstens even groot als B als er een injectie bestaat van B naar A. We gebruiken B A om
aan te geven dat er een injectie bestaat van B naar A.
Een verzameling die even groot is als N noemen we aftelbaar oneindig. Als we toestaan
dat een aftelproces eeuwig doorgaat, dan kunnen aftelbaar oneindige verzamelingen inderdaad
worden afgeteld: het aftelproces is nooit klaar, maar er geldt wel dat elk element a ∈ A na
eindig veel stappen aan de beurt komt bij het aftellen.
De gehele getallen zijn . . . , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .. We duiden de verzameling
van alle gehele getallen aan met Z. De verzameling Z is aftelbaar oneindig, want hier is een
aftelling van die verzameling:
0 −→ 0
1 −→ 1
2 −→ −1
3 −→ 2
4 −→ −2
Opdracht 4.4 Laat zien dat het aantal velden van een oneindig schaakbord aftelbaar is.
.
Is de verzameling van alle positieve breuken aftelbaar? Op het eerste gezicht lijkt het misschien
van niet, want tussen elk tweetal breuken liggen oneindig veel breuken. Cantor liet echter
zien dat het wel zo is, met behulp van de volgende elegante opsommingsprocedure.