Inzien en bewijzen - CWI

More documents

Recommendations

Info

52 HOOFDSTUK 3. GESCHIEDENIS VAN DE AXIOMATISCHE METHODE 1. Geen enkel getal heeft 0 als opvolger. 2. Als n ongelijk is aan m, dan is de opvolger van n ongelijk aan de opvolger van m. 3. Voor elk getal n geldt dat n + 0 = n. 4. Voor elk tweetal getallen n en m geldt dat n + (m + 1) = (n + m) + 1. 5. Voor elk getal n geldt dat n × 0 = n. 6. Voor elk tweetal getallen n en m geldt dat n × (m + 1) = n × m + n. 7. Voor elke bewering P (n) over n is de volgende bewering een axioma: als P (0) geldt en er geldt bovendien voor een willekeurige n dat P (n + 1) volgt uit P (n), dan geldt P (n) voor elk getal n. Axioma’s (3) en (4) leggen de spelregels voor het optellen vast, en (5) en (6) die voor het vermenigvuldigen. Axioma (7) levert een axioma voor elke keuze van P (n). Daarmee verwoordt (7) het principe van volledige inductie. Merk op dat machtsverheffen kan worden gedefinieerd in termen van vermenigvuldigen, dus de bewering uit opdracht 2.1 (om maar een voorbeeld te noemen) kan in het redeneersysteem van Peano worden bewezen. In het redeneersysteem S van Peano kunnen we concreet een ware zin G over getallen aanwijzen die niet door het systeem S bewezen wordt. We kunnen helaas niet onder het probleem uitkomen door die ware zin G aan het gegeven systeem S toe te voegen. Als het resulterende systeem T = S + G nog steeds vrij is van tegenspraak, dan is er een nieuwe ware zin H over getallen aan te wijzen die niet volgt uit het verrijkte systeem T . Enzovoorts. De conclusie uit Gödels stelling is dat het weliswaar mogelijk is voor elk welomschreven domein van wiskundig redeneren een formeel systeem te specificeren waarin we het redeneren binnen dat domein getrouw kunnen representeren, maar dat er niet één theorie kan zijn die voor eens en voor altijd werkt voor alle domeinen. Kortom: de wiskundige werkelijkheid is oneindig rijk!
Hoofdstuk 4 Redeneren over oneindigheid 4.1 Actueel versus potentieel oneindig Aristoteles maakte in zijn beschouwingen over oneindigheid onderscheid tussen het ‘potentieel oneindige’ en het ‘actueel oneindige’. Met het potentieel oneindige krijg je te maken als je gaat tellen en merkt dat je je telproces nooit tot een einde kunt brengen, bijvoorbeeld bij het tellen van het aantal punten op een lijnstuk. Met het actueel oneindige krijg je te maken wanneer je een oneindige totaliteit in zijn geheel overziet. Maar kan dat ooit, zo vroeg Aristoteles zich af? Thomas van Aquino, de grote middeleeuwse volgeling van Aristoteles, opperde het volgende bezwaar tegen de notie van een actuele oneindigheid. Het bestaan van een actueel oneindige veelheid is onmogelijk. Immers, elke verzameling zaken die men beschouwt moet een specifieke verzameling zijn. En verzamelingen worden gespecificeerd door het aantal dingen dat erin zit. Geen getal is oneindig, want getallen ontstaan door het aftellen van een aantal eenheden. Dus kan geen verzameling dingen inherent of toevalligerwijs onbegrensd zijn. Als je dit niet helemaal snapt, dan komt dat niet omdat je niet genoeg gevoel voor filosofische diepgang hebt. Wie dit niet snapt kan zichzelf feliciteren, want wat Thomas hier zegt klopt niet. Maar de opvatting dat niets in dit ondermaanse oneindig kan zijn was onder filosofen lange tijd gemeengoed. Het was in de zestiende eeuw zelfs uitermate gevaarlijk om iets anders te beweren. Giordano Bruno beweerde dat het universum oneindig is, en Bruno werd om die opvatting (plus nog een aantal andere redelijke en minder redelijke denkbeelden) in 1600 in het openbaar verbrand. Voor grote wetenschappelijke geesten was oneindigheid lange tijd een harde noot om te kraken. Galilei, ook iemand die het op een gegeven ogenblik met de kerkelijke inquisitie aan de stok kreeg, beweerde dat redeneren over oneindigheid in termen van groter en kleiner onmogelijk is. [. . . ] het totaal van alle (natuurlijke) getallen is oneindig, en het totaal van alle kwadraten is oneindig; en het aantal kwadraten is niet minder dan dat van het totaal van alle getallen, en dat laatste aantal is ook niet groter dan het eerste; een en ander laat zien dat de attributen ‘gelijk’, ‘groter’ en ‘kleiner’ niet van toepassing zijn op het oneindige, maar alleen op eindige hoeveelheden. 53
Page 1: Inzien en bewijzen Jan van Eijck en
Page 4 and 5: 4 INHOUDSOPGAVE 5 Recepten voor bew
Page 6 and 7: 6 HOOFDSTUK 1. HET HART VAN DE EXAC
Page 8 and 9: 8 HOOFDSTUK 1. HET HART VAN DE EXAC
Page 10 and 11: 10 HOOFDSTUK 1. HET HART VAN DE EXA
Page 18 and 19: 18 HOOFDSTUK 2. (IN)ZIEN EN BEWIJZE
Page 36 and 37: 36 HOOFDSTUK 3. GESCHIEDENIS VAN DE
Page 54 and 55: 54 HOOFDSTUK 4. REDENEREN OVER ONEI
Page 68 and 69: 68 HOOFDSTUK 5. RECEPTEN VOOR BEWIJ
Page 88 and 89: 88 HOOFDSTUK 6. BEWIJZEN VINDEN EN
Page 90 and 91: 90 HOOFDSTUK 6. BEWIJZEN VINDEN EN
Page 92 and 93: 92 Biografieën school stond open v
Page 94 and 95: 94 Biografieën Leonhard Euler (170
Page 96 and 97: 96 Biografieën János Bolyai (1802
Page 98 and 99: 98 Biografieën Kurt Gödel (1906-1
Page 100 and 101: 100 Biografieën Andrew Wiles (gebo
Page 102 and 103:
102 Projecten
Page 104 and 105:
104 Uitwerkingen Uitwerking van 1.4
Page 106 and 107:
106 Uitwerkingen 200 kilometer afge
Page 108 and 109:
108 Uitwerkingen q = 0 en √ n = p
Page 110 and 111:
110 Uitwerkingen dat de cabrio acht
Page 112 and 113:
112 Uitwerkingen Uitwerking van 3.7
Page 114 and 115:
114 Uitwerkingen f(0) f(1) f(2) f(3
Page 116 and 117:
116 Uitwerkingen
Page 118 and 119:
118 Literatuur zouden ze het boek v
Page 120:
Flaptekst De notie bewijs vormt het
show all

Inzien en bewijzen - CWI

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?