Inzien en bewijzen - CWI

36 HOOFDSTUK 3. GESCHIEDENIS VAN DE AXIOMATISCHE METHODE
D E
B C
A
Net zo voor bewijzen van C. Bewijzen van D doe je door D met behulp van een bewijsregel
af te leiden uit nog weer andere beweringen, enzovoort.
Stel nu dat je elke bewering zou moeten bewijzen door afleiding uit andere beweringen. Het
bewijs van A zou dan oneindig lang worden. Er moeten dus beweringen zijn die geen bewijs nodig
hebben of die niet bewezen kunnen worden. Zulke beweringen heten axioma’s. Een onderwerp
kan worden uitgediept door, beginnende bij axioma’s en basisbegrippen, nieuwe begrippen te
definiëren, en nieuwe beweringen te bewijzen uit axioma’s en eerder bewezen beweringen. Zo’n
bewezen bewering heet een stelling. Aristoteles was de eerste die een poging waagde om de
manier waarop het bewijsproces werkte expliciet te maken. Zijn theorie over syllogismen was de
eerste poging om het redeneren te formaliseren. Hier is een voorbeeld van zo’n syllogisme:
Alle Grieken zijn mensen. Alle mensen zijn sterfelijk.
Alle Grieken zijn sterfelijk.
3.2 Euclides’ axiomatische presentatie van de meetkunde
Het beroemdste voorbeeld aller tijden van het gebruik van de axiomatische methode is de systematische
presentatie van de meetkunde in de Elementen van Euclides [9]. Euclides vatte hierin
samen wat de Griekse wiskundigen in zijn tijd van meetkunde wisten.
Euclides presenteerde de meetkundekennis van zijn tijd in streng axiomatische vorm. Axioma’s
had Euclides in twee soorten: axioma’s die niets met meetkunde van doen hebben (bijvoorbeeld:
‘Als je gelijke grootheden bij gelijke grootheden optelt krijg je gelijke uitkomsten’,
dat wil zeggen: ‘Als a = 2 en b = 3, dan a + b = 2 + 3’) en meetkundige axioma’s. De axioma’s
van meetkundige aard noemde hij postulaten. Dit zijn de vijf postulaten die Euclides aanneemt
(illustraties van postulaten IV en V zijn te vinden in figuur 3.1).
I Een tweetal punten kan door precies één lijnstuk met elkaar worden verbonden.
II Een lijnstuk kan worden doorgetrokken in precies één lijn.
III Een punt P en een lengte r bepalen een cirkel met middelpunt P en straal r.
IV Alle rechte hoeken zijn congruent (gelijk).
V Als een lijn twee lijnen snijdt, met de twee binnenhoeken aan dezelfde zijde samen kleiner
dan twee rechte hoeken, dan zullen de twee lijnen elkaar aan die zijde snijden.
De postulaten zijn geformuleerd in termen van begrippen zoals ‘punt’, ‘lijnstuk’, ‘lijn’, ‘cirkel’,
‘snijden’, ‘doortrekken’, enzovoorts. Wat is de status van die begrippen? Het is de vraag of
Euclides beseft heeft dat in een axiomatisch systeem primitieve begrippen niet te vermijden zijn.
Hij doet tenminste zijn best om alle begrippen te definiëren. Sommige van die omschrijvingen
zijn bruikbaar en heel precies, maar andere lijken alleen bedoeld om het voorstellingsvermogen
van de lezer een handje te helpen.