Inzien en bewijzen - CWI

4.6. DE STELLING VAN CANTOR–SCHRÖDER–BERNSTEIN 65
Dit bewijs beschrijft een procedure om elementen uit A en B één-op-één aan elkaar te
koppelen. Die procedure is welomschreven, maar dat betekent niet dat ze altijd met een
computer zou kunnen worden uitgevoerd. Stel immers dat we ons bij een gegeven x ∈ A
afvragen aan welke y ∈ B die x moet worden gekoppeld. Dat hangt ervan af of het pad
g −1 (x), f −1 (g −1 (x)), g −1 (f −1 (g −1 (x))), . . ., dat vanaf x terugloopt in eindig veel stappen uitkomt
op een element van A of op een element van B. In het eerste geval kunnen we x koppelen
aan f(x), in het andere geval moeten we x koppelen aan g −1 (x). Maar kijken of een pad eindig
of oneindig is, is geen beslisbare procedure. Als het pad eindig is, krijgen we na eindig veel tijd
een antwoord. Maar als de vraag na een bepaald eindig tijdsverloop nog niet is beantwoord,
dan betekent dat nog niet dat het pad oneindig is. Het antwoord ‘Het pad is oneindig’ krijgen
we nooit.
Overigens hebben we in het bewijs geen gebruikgemaakt van het feit dat A en B disjuncte
verzamelingen zijn. De relatiemarkt in de gay scene verschilt niet wezenlijk van de huwelijksmarkt
voor hetero’s, dus de stelling gaat ook op als we A en B gelijk nemen, of als we A en B
gedeeltelijk laten overlappen.
De stelling van Cantor-Schröder-Bernstein is buitengewoon handig om te laten zien dat er
één-op-één correspondenties zijn tussen verzamelingen. Bijvoorbeeld: er bestaat een bijectie
tussen [0, 1] (alle reële getallen tussen 0 en 1, inclusief de randen), en [0, 1) (alle reële getallen
tussen 0 en 1, inclusief de ondergrens 0 maar exclusief de bovengrens 1). Immers, f : [0, 1] →
[0, 1) gegeven door f(x) = 1
2x is een injectie, en g : [0, 1) → [0, 1] gegeven door g(x) = x is ook
een injectie. Cantor-Schröder-Bernstein toepassen en klaar.
Laten we voor dit voorbeeld eens in detail nagaan hoe de bijectie h tussen [0, 1] en [0, 1)
eruitziet die we krijgen als we het voorschrift uit het bewijs toepassen.
• Welke punten zitten in een gesloten eindige lus? Alleen het punt 0, want we hebben
0 f → 0 g → 0. Dit geeft: h(0) = 0.
• Welke punten zitten in een naar beide zijden oneindige rij? Geen.
• Welke punten zitten in een oneindige reeks die met een punt in [0, 1] en een f-stap begint?
De punten in het interval [ 1
2 , 1] zijn beginpunt, want een g-voorganger van zo’n punt zit in
het interval [1, 2], en dat interval is disjunct van [0, 1). Maar dan zitten ook alle punten in
[ 1 1
1 1
8 , 4 ] in dezelfde reeks, en alle punten in [ 32 , 16 ], enzovoorts. De algemene karakterisering
is de verzameling punten in een oneindige verzameling intervallen:
X = {[ 1 1
, ] | n ∈ N}.
2 · 4n 4n Hier staat F voor de vereniging van een familie F van verzamelingen, dat wil zeggen
voor de verzameling van alle elementen die in minstens een verzameling in de familie F
zitten.
Dit geeft: h(x) = 1
2x voor x ∈ X.
• Welke punten zitten in een oneindige reeks die met een punt in [0, 1) en een g-stap begint?
De punten in het interval ( 1
2 , 1) zijn beginpunt, want een f-voorganger van zo’n punt
zit in het interval (1, 2), en dat is disjunct van [0, 1]. De algemene karakterisering is de