Inzien en bewijzen - CWI

6 HOOFDSTUK 1. HET HART VAN DE EXACTE WETENSCHAP
Figuur 1.1: Een bewijs van de stelling van Pythagoras in de vorm van twee plaatjes.
Opdracht 1.1 Leg uit waarom de twee plaatjes in figuur 1.1 een bewijs vormen van de stelling
van Pythagoras. Een bewijs van een stelling heb je wanneer je kunt laten zien waarom die
stelling waar is. Hoe laten de twee plaatjes zien dat de stelling van Pythagoras waar is? (Dit
plaatjesbewijs is overigens niet het bewijs dat Euclides geeft.)
Wiskundige bewijzen leren begrijpen en zelf opzetten vormde eeuwenlang de hoofdmoot
van het wiskundeonderwijs. Vandaag de dag is dat niet meer zo, omdat ‘inzicht verwerven’
belangrijker wordt geacht dan vaardigheid krijgen in het bewijzen. Bewijs en inzicht zijn echter
twee kanten van dezelfde medaille: door te proberen bewijzen te leveren of doorgronden kom je
tot inzicht, en om inzicht te communiceren zijn bewijzen nodig.
Dit boek maakt duidelijk hoe centraal het begrip ‘bewijs’ is in de ontwikkeling van het
exacte denken. Je gaat in dit boek leren hoe je zelf bewijsproblemen kunt aanpakken. Dan
zul je ontdekken dat zelf leren bewijzen een uitstekende manier is om toegang te krijgen tot de
wereld van de exacte wetenschap. Dat toegangsrecht krijg je niet cadeau: je moet het verdienen.
Zelf bewijzen leren leveren is moeilijk, en wat moeilijk is, is alleen weggelegd voor wie talent
heeft en bereid is zich in te zetten. Maar wie het wil leren zou daarbij geholpen moeten worden.
In dit boek maken we daarmee een begin.
Het feit dat leren bewijzen nu is voorbehouden aan de echte ‘liefhebbers’ heeft in elk geval
als voordeel dat er zo niemand die daar geen zin in heeft met echte wiskunde wordt geplaagd.
Of wiskundig denken iets voor jou is kun je in de bladzijden die volgen zelf gaan ontdekken. Wij
geven in de rest van dit hoofdstuk een paar voorbeelden van prachtige bewijzen uit de klassieke
oudheid. Als je die bewijzen leuk vindt, is er kans dat er met dit boek een nieuwe wereld voor
je opengaat. Vind je er niets aan, dan is dat ook nuttige informatie. Gevaar dat je verloren
gaat voor de wetenschap is er dan hoegenaamd niet: dit pad van het denken en weten is dan
kennelijk niet jouw weg.
Wat wiskunde te bieden heeft is inzicht met eeuwigheidswaarde. Het inzicht dat de wortel
uit twee geen breuk is is een inzicht voor alle tijden. Het feit dat mensen zulke inzichten kunnen
verwerven is een van de grote wonderen van het bestaan. Het besef dat het mogelijk is sommige
dingen volstrekt klaar en duidelijk in te zien zou je leven kunnen veranderen. En als je je
afvraagt of het verwerven van eeuwig inzicht nuttig is om in de wereld vooruit te komen? Er is