Inzien en bewijzen - CWI

20 HOOFDSTUK 2. (IN)ZIEN EN BEWIJZEN
De functie KD is nuttig bij het definiëren van een test om te kijken of een natuurlijk getal een
priemgetal is: priemgetallen zijn de natuurlijke getallen n groter of gelijk aan 2 waarvoor geldt
dat KD(n) = n. De priemtest voor een getal n kan de vorm aannemen van systematisch zoeken
naar een kleinste deler van n. Probeer eerst of 2 een deler is, vervolgens of 3 een deler is, en zo
verder voor alle natuurlijke getallen ≤ √ n. Als dit geen deler oplevert, is kennelijk KD(n) = n,
dat wil zeggen: n is priem.
2.3 Plaatjes en inzicht
Als je iets direct ‘ziet’ hoef je het niet meer te bewijzen. Echt inzicht is fundamenteler dan
bewijs. Sherlock Holmes zegt ‘elementair, beste vriend’, maar voor Watson moet het inzicht nog
worden uitgespeld door middel van uitgebreide bewijsvoering.
Vaak valt een direct inzicht te illustreren met een plaatje, en zo’n plaatje zegt dan meer dan
een bewijs in woorden. Het volgende plaatje (dat je misschien al eens bij wiskunde hebt gezien)
illustreert het inzicht dat de som van de eerste n oneven natuurlijke getallen gelijk is aan n 2 .
Het plaatje geeft de som 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
In feite geeft het plaatje natuurlijk alleen een speciaal geval. Het inzicht is nu juist dat je
elk plaatje van zo’n speciaal geval kunt uitbreiden tot een plaatje van een groter vierkant door
een nieuwe ‘rand’ van punten toe te voegen. Bijvoorbeeld: een vierkant met 5 × 5 punten kun
je uitbreiden tot een vierkant van 6 × 6 punten door een nieuwe ‘rand’ van 11 punten toe te
voegen, en 11 is het zesde oneven getal. Een vierkant van 12 × 12 punten kun je uitbreiden tot
een vierkant van 13 × 13 punten door het toevoegen van een nieuwe ‘rand’ van 2 × 12 + 1 = 25
punten. Algemener geformuleerd: je kunt een plaatje van n×n punten uitbreiden tot een plaatje
van (n + 1) × (n + 1) punten door er een ‘rand’ van 2n + 1 punten aan toe te voegen. Dit inzicht
is in feite de kern van de inductiestap in een bewijs met volledige inductie.
Opdracht 2.5 Kun je uit het volgende plaatje van 2 + 4 + 6 + 8 + 10 (de som van de eerste 5
even natuurlijke getallen) een formule destilleren voor de som van de eerste n even natuurlijke
getallen? (Ook dit voorbeeld zou je je nog moeten herinneren uit de wiskundelessen.)
Hier is nog een voorbeeld waar direct inzicht beter werkt dan toepassen van wiskundige
techniek.
Opdracht 2.6 Raadsel van de verliefde kevers. Er waren eens vier kleine kevertjes, A, B, C
en D, en die zaten niet op een hek, maar in de vier hoeken van een vierkant.