Inzien en bewijzen - CWI

2.7. OPDRACHTEN OVER BEWIJSMETHODEN 31
X
Y
Figuur 2.4: Twee verzamelingen X en Y met links hun doorsnede X ∩ Y , rechts hun vereniging
X ∪ Y in grijs.
X
X Y
Figuur 2.5: Twee disjuncte verzamelingen X en Y : de verzameling X ∩ Y is leeg.
Net zo kunnen we de verzameling aanduiden van natuurlijke getallen die bij deling door 4 rest
3 geven:
{4n + 3 | n ∈ N}.
In de volgende opdracht moet je laten zien dat de doorsnede van deze laatste verzameling met de
verzameling priemgetallen oneindig is. Met andere woorden: er zijn oneindig veel priemgetallen
die rest 3 geven als je ze door 4 deelt.
Opdracht 2.21 Behalve 2 zijn alle priemgetallen oneven. Als je zo’n oneven priemgetal door
2 deelt, krijg je dus altijd rest 1. Als je zo’n oneven priemgetal door 4 deelt krijg je ofwel een
rest 1 of een rest 3. Als je geen rest of een rest 2 zou krijgen, zou het getal immers even zijn.
De getallen die wanneer je ze door 4 deelt rest 1 geven zijn van de vorm 4n + 1, voor een
of ander natuurlijk getal n. De getallen die wanneer je ze door 4 deelt rest 3 geven zijn van de
vorm 4n + 3.
Laat zien dat er oneindig veel priemgetallen zijn die wanneer je ze door 4 deelt rest 3 geven.
Met andere woorden, laat A de verzameling {4n + 3 | n ∈ N} zijn, en laat B de verzameling zijn
van alle priemgetallen. Laat zien dat A ∩ B oneindig is.
Hier is een aanwijzing. Begin met aan te nemen dat er maar eindig veel priemgetallen van de
vorm 4n+3 zijn, zeg, p1, . . . , pm. Beschouw nu het getal Q = 4p1 · · · pm −1 = 4(p1 · · · pm −1)+3.
Laat zien dat Q een factor 4q + 3 moet hebben. Daarvoor kun je gebruikmaken van het feit dat
(4a + 1)(4b + 1) van de vorm 4c + 1 is.
Y