Inzien en bewijzen - CWI

8 HOOFDSTUK 1. HET HART VAN DE EXACTE WETENSCHAP
1.3 De wortel uit 2 is geen breuk
De oude Grieken waren dol op constructies met behulp van passer en liniaal. Meetkunde gaat
over cirkels en lijnen; cirkels teken je met een passer en lijnen trek je met een liniaal. Met een
passer valt het middelpunt van een lijnstuk te bepalen, of kan een hoek middendoor worden
gedeeld.
Opdracht 1.2 Laat zien hoe je met passer en liniaal een gegeven hoek middendoor kunt delen.
Opdracht 1.3 Laat zien hoe je met passer en liniaal een loodlijn kunt construeren in een punt
P op een lijn l. De loodlijn moet lijn l in P snijden onder een hoek van 90 ◦ (een rechte hoek).
De benaming loodlijn is ontleend aan het ‘loodkoord’ waarmee een metselaar ervoor zorgt dat
het muurtje dat hij aan het metselen is precies verticaal is.
Opdracht 1.4 De middelloodlijn van lijnstuk AB is de lijn die door het midden van het lijnstuk
AB gaat en loodrecht op AB staat. Laat zien hoe je met behulp van een passer en een liniaal de
middelloodlijn van een lijnstuk kunt construeren.
Hoewel het liniaal van de oude Grieken geen schaalverdeling had, kunnen we wel een eenheidsmaat
afspreken. We passen dan een of andere lengte af met de passer, en spreken af dat
we die lengte 1 noemen. Dat is dan de afgesproken eenheidsmaat.
Bij een driehoek met een rechte hoek en rechthoekszijden van lengte 1 geldt volgens de stelling
van Pythagoras (pagina 5) dat het kwadraat van de schuine zijde gelijk is aan 2 (tweemaal de
eenheidsmaat). Als we de schuine zijde x noemen, wil dit zeggen: x 2 = 2.
Met passer en liniaal valt een vierkant te construeren met zijde 1. Neem daartoe een lijnstuk
AB en noem de lengte van dat lijnstuk 1. We hebben geen liniaal met schaalverdeling, maar
we kunnen wel de lengte van AB als de eenheidsmaat beschouwen van een schaal die we zelf
construeren. Noem de lijn die door A en B gaat l. Richt nu loodlijnen op l op in de punten A
en B. Bepaal met een passer twee punten C en D op die loodlijnen, elk aan dezelfde kant van l,
en op afstand 1 van respectievelijk A en B. Trek het lijnstuk CD en klaar is het vierkant. Trek
de diagonaal CB in dit vierkant en noem de lengte x.
C D
1
x
A 1 B
A 2 B 1 C
Figuur 1.2: Twee manieren om √ 2 te construeren.
x
D