Inzien en bewijzen - CWI

72 HOOFDSTUK 5. RECEPTEN VOOR BEWIJS-CONSTRUCTIE
De introductieregels voor conjunctie zijn even simpel: een conjunctie volgt door twee gegevens
bij elkaar te nemen.
5.3 Equivalentie
Gegeven: P, Q
Dus P en Q.
Een equivalentie P dan en slechts dan als Q, vaak afgekort als P desda Q, kan worden gezien
als een conjunctie van twee implicaties: (als P dan Q) en (als Q dan P).
De behandeling is dus een combinatie van die van ‘als dan’ en van ‘en’.
Gegeven: . . .
Te bewijzen: P desda Q
Bewijs:
Stel P
Te bewijzen: Q
Bewijs: . . .
Stel Q
Te bewijzen: P
Bewijs: . . .
Dus P desda Q.
Als je moet bewijzen dat een reeks van beweringen equivalent is, bewijs je de implicatie van
de eerste naar de tweede, van de tweede naar de derde, . . . , en van de laatste naar de eerste.
We geven een voorbeeld. In het voorbeeld speelt het begrip kleinste gemene veelvoud een rol.
Het kleinste gemene veelvoud (KGV) van twee natuurlijke getallen a en b is het kleinste getal
c ∈ N met ap = c, bq = c, voor zekere p, q ∈ N. Het KGV bestaat altijd, want ab is een gemeen
(=gemeenschappelijk) veelvoud van a en b.
Gegeven: a, b ∈ N, a > 0, b > 0.
Te bewijzen: de volgende beweringen zijn equivalent:
(1) a is een deler van b,
(2) a is gelijk aan de grootste gemene deler (GGD) van a en b,
(3) b is gelijk aan het kleinste gemene veelvoud (KGV) van a en b.