Inzien en bewijzen - CWI

82 HOOFDSTUK 5. RECEPTEN VOOR BEWIJS-CONSTRUCTIE
Dus x ∈ A − B.
Maar dan ook: x ∈ (A − B) of x ∈ (B − C).
Dus x ∈ (A − B) ∪ (B − C).
Hier zijn nog wat aanwijzingen voor het aanpakken van eenvoudige bewijsproblemen.
1. Staar je niet blind op het gegeven: pogingen om het gegeven direct om te zetten in de
bewering die bewezen moet worden zijn meestal vruchteloos.
2. Concentreer je op hetgeen bewezen moet worden. Aan de logische vorm van de bewering
die bewezen moet worden kun je zien wat de eerste stap van het bewijs moet zijn.
3. Probeer je bewijsprobleem te vereenvoudigen. Dat kan bij voorbeeld als volgt.
• Als je een implicatie als P dan Q moet bewijzen, voeg dan P toe aan wat gegeven is
en probeer Q te bewijzen.
• Als je een universele bewering voor alle x geldt A(x) moet bewijzen, bewijs dan A(c)
voor een willekeurig object c.
4. Pas wanneer je op deze manier het bewijsprobleem zoveel mogelijk hebt vereenvoudigd
wordt het tijd om naar de gegevens te gaan kijken om te zien welk gegeven je nodig hebt.
Dat kan bijvoorbeeld als volgt.
• Als een van de gegevens van de vorm P of Q is, en je moet R bewijzen, voeg dan eerst
P aan de gegevens toe en probeer R te bewijzen, en voeg daarna Q aan de gegevens
toe en probeer R te bewijzen.
• Als een van de gegevens van de vorm er is een x met A(x) is, en je moet P bewijzen,
geef het object dat aan A voldoet dan een naam c (dat doe je door A(c) aan de
gegevens toe te voegen), en bewijs P .
5. Het bewijzen van negaties is in het algemeen lastig. Vaak is het daarom een goed idee om
dit zolang mogelijk uit te stellen. Dat kan bijvoorbeeld als volgt.
• Als het te bewijzen van de vorm niet (P of Q) is, vervang dit dan door (niet P)
en (niet Q). Dit mag omdat de twee beweringen logisch equivalent zijn: ze hebben
dezelfde logische betekenis.
• Als het te bewijzen van de vorm niet (als P dan Q) is, vervang dit dan door P en
niet Q. Dit mag omdat de twee beweringen logisch equivalent zijn.
• Als het te bewijzen van de vorm niet (voor elke x geldt A(x)) is, vervang dit dan door
er is een x met niet A(x). Dit mag omdat de twee beweringen logisch equivalent zijn.
• Als het te bewijzen van de vorm niet (er is een x met A(x)) is, vervang dit dan door
voor elke x geldt niet A(x). Dit mag omdat de twee beweringen logisch equivalent
zijn.
6. Probeer als het even kan een bewijs uit het ongerijmde te vermijden. Deze bewijsregel
is alleen in zeer uitzonderlijke gevallen nodig. Bewijzen uit het ongerijmde hebben als
bezwaar dat je je er gemakkelijk in kunt verstrikken. Zelfs als het je lukt om een bewijs
uit het ongerijmde te leveren, is het achteraf vaak moeilijk om te zien waarom het bewijs
correct is.