Inzien en bewijzen - CWI

Biografieën 97
Georg Cantor (1845–1918)
Georg Cantor werd in Sint Petersburg geboren als zoon van een succesvol koopman. Zijn
vader wilde aanvankelijk dat hij ingenieur werd, maar stemde toe toen Georg verzocht om over
te mogen stappen op wiskunde. Cantor hield zich oorspronkelijk bezig met getaltheorie en
analyse. In 1873 liet hij zien dat de rationale getallen aftelbaar zijn, dat wil zeggen dat ze
in één-op-één verband kunnen worden gebracht met de natuurlijke getallen. Hij liet ook zien
dat de algebraische getallen (getallen die de wortels zijn van polynoomvergelijkingen met gehele
coëfficiënten) aftelbaar zijn. Lastiger bleek de vraag of de reële getallen aftelbaar zijn, maar
Cantor slaagde erin om te laten zien dat dat niet zo was.
Tussen 1879 en 1884 publiceerde Cantor een reeks van zes artikelen in Mathematische Annalen
met als doel de grondslag te leggen voor de verzamelingenleer. Cantors opvattingen over
verzamelingen ondervonden veel oppositie. Cantor is zich bewust van de tegenstand:
[. . . ] ik ben mij ervan bewust dat ik mezelf met mijn onderneming plaats tegenover
opvattingen over wiskundige oneindigheid die wijd zijn verbreid, en tegenover
opvattingen over de aard van getallen die vaak worden verdedigd.
Hoe vruchtbaar het nieuwe perspectief op oneindigheid is blijkt uit de transfiniete getaltheorie,
de grondslag voor het ‘tellen’ van oneindige verzamelingen. Een probleem waar Cantor mee
bleef worstelen was de continuumhypothese, die inhoudt dat de graad van oneindigheid van de
reële getallen de graad van oneindigheid is die direct volgt op die van de natuurlijke getallen.
Een aantal malen denkt Cantor een bewijs te pakken te hebben, maar nadere inspectie brengt
steeds een foutje aan het licht.