Inzien en bewijzen - CWI

More documents

Recommendations

Info

56 HOOFDSTUK 4. REDENEREN OVER ONEINDIGHEID Zo’n functie wordt een surjectie genoemd. Om te laten zien dat f : X → Y surjectief is moet je dus aantonen: Als b ∈ Y , dan is er een a ∈ X met f(a) = b. Een functie f : X → Y heet bijectief (spreek uit: bi-jectief) of een één-op-één correspondentie als de functie zowel injectief als surjectief is. De functie x ↦→ x + 1 (de opvolgerfunctie) van N naar N−{0} (van de natuurlijke getallen naar de positieve natuurlijke getallen) is een voorbeeld van een bijectie. Als f : X → Y bijectief is, dan is er voor elke y ∈ Y precies één x ∈ X met f(x) = y. Dat origineel geven we aan met f −1 (y). Opdracht 4.1 Is de functie ‘kwadrateren’ op de reële getallen een injectie? Een surjectie? Een bijectie? Opdracht 4.2 Is de functie ‘vermenigvuldigen met 2’ op de natuurlijke getallen een injectie? Een surjectie? Een bijectie? Opdracht 4.3 Is de functie ‘vermenigvuldigen met 2’ op de reële getallen een injectie? Een surjectie? Een bijectie?
4.3. CANTOR OVER ONEINDIGHEID 57 4.3 Cantor over oneindigheid De wiskundige Georg Cantor (1845-1915) nam krachtig stelling tegen de ideeën over oneindigheid van Aristoteles, Thomas van Aquino en Immanuel Kant, door het onderscheid tussen actueel en potentieel oneindig te verwerpen. [. . . ] in feite heeft het potentieel oneindige slechts een afgeleid bestaan, in zoverre als een potentieel oneindig begrip altijd terugverwijst naar een logisch daaraan voorafgaand begrip van actuele oneindigheid waar het op berust. Het aantal elementen dat een verzameling bevat noemen we de kardinaliteit van die verzameling. Als een verzameling eindig is, is de kardinaliteit van die verzameling een natuurlijk getal. Zo is bijvoorbeeld de kardinaliteit van de lege verzameling gelijk aan 0. De kardinaliteit van de verzameling manen van onze planeet is gelijk aan 1, en de kardinaliteit van de verzameling manen van de planeet Jupiter is gelijk aan 4 (tenminste als we ‘maan’ opvatten als een satelliet van minstens dezelfde orde van grootte als onze eigen maan, anders zijn het er veel meer). Hoe het staat met de kardinaliteit van oneindige verzamelingen was lange tijd (tot ver in de negentiende eeuw) een raadsel. Pas rond 1875 liet Cantor zien hoe dit raadsel kan worden opgelost. Actueel oneindige verzamelingen zijn er volgens Cantor te kust en te keur. Neem het voorbeeld van het vergelijken van de verzameling van natuurlijke getallen met die van de kwadraten van natuurlijke getallen waar Galilei mee worstelde. Volgens Cantor toont het voorbeeld alleen aan dat onze manier van bepalen van de grootte van eindige verzamelingen niet helemaal voldoet voor het bepalen van de grootte van oneindige verzamelingen. Bij tellen van eindige verzamelingen is het telproces op een gegeven moment afgelopen. Wat we daarbij in feite doen is een één-op-één afbeelding maken tussen een verzameling en een beginstuk van de natuurlijke getallen. Zo tellen we de vingers van een hand: duim is een, wijsvinger is twee, middenvinger is drie, ringvinger is vier en pink is vijf. Dit geeft in feite een één-op-één correspondentie van de vingers en de verzameling {1, 2, 3, 4, 5}. Die verzamelingen zijn dus even groot. Met oneindige verzamelingen kan dat even goed. Neem de verzameling van de natuurlijke getallen {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}. Neem aan de andere kant de verzameling van alle kwadraten van natuurlijke getallen {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .}. Tussen die verzamelingen bestaat een één-op-één correspondentie, namelijk: 0 ←→ 0 1 ←→ 1 2 ←→ 4 3 ←→ 9 4 ←→ 16 5 ←→ 25 . Die verzamelingen zijn dus even groot. Kennelijk kan het bij oneindige verzamelingen voorkomen dat zo’n verzameling even groot is als een van zijn echte deelverzamelingen. Maar dat betekent dat een oude filosofische waarheid, ‘Het geheel is groter dan het deel,’ kennelijk niet opgaat voor oneindige verzamelingen. Kwestie van wennen.
Page 1:
Inzien en bewijzen Jan van Eijck en
Page 4 and 5:
4 INHOUDSOPGAVE 5 Recepten voor bew
Page 6 and 7: 6 HOOFDSTUK 1. HET HART VAN DE EXAC
Page 8 and 9: 8 HOOFDSTUK 1. HET HART VAN DE EXAC
Page 10 and 11: 10 HOOFDSTUK 1. HET HART VAN DE EXA
Page 18 and 19: 18 HOOFDSTUK 2. (IN)ZIEN EN BEWIJZE
Page 36 and 37: 36 HOOFDSTUK 3. GESCHIEDENIS VAN DE
Page 54 and 55: 54 HOOFDSTUK 4. REDENEREN OVER ONEI
Page 68 and 69: 68 HOOFDSTUK 5. RECEPTEN VOOR BEWIJ
Page 88 and 89: 88 HOOFDSTUK 6. BEWIJZEN VINDEN EN
Page 90 and 91: 90 HOOFDSTUK 6. BEWIJZEN VINDEN EN
Page 92 and 93: 92 Biografieën school stond open v
Page 94 and 95: 94 Biografieën Leonhard Euler (170
Page 96 and 97: 96 Biografieën János Bolyai (1802
Page 98 and 99: 98 Biografieën Kurt Gödel (1906-1
Page 100 and 101: 100 Biografieën Andrew Wiles (gebo
Page 102 and 103: 102 Projecten
Page 104 and 105: 104 Uitwerkingen Uitwerking van 1.4
Page 106 and 107:
106 Uitwerkingen 200 kilometer afge
Page 108 and 109:
108 Uitwerkingen q = 0 en √ n = p
Page 110 and 111:
110 Uitwerkingen dat de cabrio acht
Page 112 and 113:
112 Uitwerkingen Uitwerking van 3.7
Page 114 and 115:
114 Uitwerkingen f(0) f(1) f(2) f(3
Page 116 and 117:
116 Uitwerkingen
Page 118 and 119:
118 Literatuur zouden ze het boek v
Page 120:
Flaptekst De notie bewijs vormt het
show all

Inzien en bewijzen - CWI

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?