Inzien en bewijzen - CWI

50 HOOFDSTUK 3. GESCHIEDENIS VAN DE AXIOMATISCHE METHODE
wordt door ons zonnestelsel en twee zeer ver van ons verwijderde sterren, dan doet zich het feit
voor dat we altijd rekening moeten houden met een meetfout. De grootte van zo’n meetfout
laat zich berekenen. Stel dat we weten dat de meetfout hoogstens een boogseconde bedraagt. Een
boogseconde is 1/60 van een boogminuut, en een boogminuut is weer 1/60 van een graad. Een
fout van een boogseconde op 180 ◦ is dus een fout van 1/3600 graad. Als we nu vinden dat
de som van de hoeken van onze kosmische driehoek kleiner is dan 179 ◦ 59 ′ 59 ′′ (179 graden, 59
boogminuten, 59 boogseconden) dan hebben we daarmee empirisch vastgesteld dat de kosmische
ruimte hyperbolisch is. Maar stel dat we een som vinden van 179◦59 ′ 59 1 ′′
2 . Dan kunnen we
niet concluderen dat de kosmische ruimte euclidisch is. Immers, de afwijking van 180◦ die we
gevonden hebben kan veroorzaakt zijn door de meetfout, maar dat hoeft niet. Het feit dat er
altijd een meetfout is lijkt het volgende te betekenen. Een kosmische driehoeksmeting zou tot de
conclusie kunnen leiden dat de kosmische ruimte hyperbolisch is, maar zo’n meting kan nooit tot
de conclusie leiden dat de kosmische ruimte euclidisch is. Klopt dit? Zo ja, wat is het formele
verschil tussen de twee hypothesen ‘De kosmische ruimte is euclidisch’ en ‘De kosmische ruimte
is hyperbolisch’? Geef commentaar.
De beschreven mannier van kijken naar interpretatie en waarheid van Sommie leidt tot enige
twijfels. Willen we deze manier serieus nemen, dan moeten we een realistische positie ten
opzichte van meetkundige objecten innemen. Eenvoudiger gezegd: we moeten ervan uitgaan dat
het zin heeft over zaken als driehoeken te praten. Die driehoeken moeten er op een of andere
manier zijn. Het is duidelijk dat driehoeken niet precies zulke dingen zijn als Balkenende en
bananen. Het zijn — als ze al iets zijn — abstracte aspecten van onze wereld. We zullen hier
niet proberen de vraag of er wel of niet driehoeken zijn te beantwoorden. Wel zullen we straks
kijken wat er van dit probleem wordt in de modeltheoretische visie.
De modeltheoretische visie werkt zo. We starten met een aantal axioma’s. Die axioma’s zijn
gesteld in woorden. Nu laten we de vaste interpretatie van die woorden los: bijvoorbeeld lijn
hoeft niet meer per se lijn te betekenen. Stel je nu een of andere keuze van betekenissen van de
woorden die in de axioma’s voorkomen voor. Als onder die keuze de axioma’s waar zijn, dan
noemen we die keuze van betekenissen een model van de axioma’s. Dat klinkt erg abstract, maar
het wordt hopelijk duidelijker als we aan het Klein-Beltrami model denken. In dit model wordt
het begrip lijn geïnterpreteerd als koorde van een zekere cirkel. Enzovoorts. Je zou kunnen
zeggen dat een model zoiets is als een wereld waarin de axioma’s waar zijn.
Opdracht 3.9 Het Klein-Beltrami model wordt gedefiniëerd met behulp van het gewone euclidische
vlak. Maar moeten daar dan niet punten gewoon punten zijn en cirkels gewoon cirkels?
Merk op dat in de alledaagse manier van kijken we ons afvragen of de zin over Balkenende
overeenstemt met de werkelijkheid. In de modeltheoretische manier van kijken draait de richting
zich om: hier vragen we ons af of een model past bij de axioma’s.
De modeltheoretische manier van kijken heeft groot nut. Het Klein-Beltrami model laat
bijvoorbeeld zien dat, als de euclidische meetkunde een model heeft, dat dan de hyperbolische
meetkunde ook een model heeft. Met andere woorden de hyperbolische meetkunde is niet minder
samenhangend dan de euclidische meetkunde. In de modeltheoretische manier van kijken hebben
we niet De Meetkunde, maar meetkundes. De vraag wat punten en lijnen nu precies zijn doet
er niet meer toe: als de gekozen objecten maar aan de axioma’s voldoen.