Inzien en bewijzen - CWI

More documents

Recommendations

Info

78 HOOFDSTUK 5. RECEPTEN VOOR BEWIJS-CONSTRUCTIE Het volgende voorbeeld is een variant op het curieuze voorbeeld dat we in 5.5 hebben gezien. Zij R, de verzameling van reële getallen, het discussiedomein, en laat P (x) de volgende eigenschap zijn: √ 2 x /∈ Q en x ∈ Q. Hier staat Q voor de verzameling van alle breuken. Met andere woorden, x heeft eigenschap P dan en slechts dan als x geen breuk is, maar x √ 2 is wel een breuk. We zullen nu laten zien dat of √ 2 of √ √ 2 2 deze eigenschap P heeft. Er geldt hoe dan ook: √ √ √ 2 √ 2 2 ∈ Q of 2 /∈ Q. Stel √ √ 2 2 ∈ Q. Dan weten we, omdat √ 2 /∈ Q (Stelling 1.1), dat √ 2 eigenschap P heeft. Stel √ √ 2 2 /∈ Q. Dan weten we, omdat ( √ √ √ √ √ √ 2) 2 2 √ 2· 2 √ 2 √ 2 = 2 = 2 = 2 ∈ Q, dat 2 eigenschap P heeft. Hieruit volgt: P ( √ 2) of P ( √ √ 2). 2 5.7 Universele bewering Wanneer je een universele bewering ‘Voor alle x: A(x)’ moet bewijzen moet het bewijs altijd beginnen met: ‘Stel dat c een willekeurig ding is’ of ‘Laat c een willekeurig ding zijn.’ Vervolgens laat je zien dat c voldoet aan A(c), en klaar. De truc is dat je over c niets aanneemt; met name mag c niet eerder in het bewijs gebruikt zijn. Omdat je geen specifieke informatie over c gebruikt, geldt wat je bewijst van elke c. Het schema wordt dus: Gegeven: . . . Te bewijzen: Voor elke x: A(x) Bewijs: Stel c is een willekeurig ding Te bewijzen: A(c) Bewijs: . . . Dus voor elke x: A(x). In het geval dat de universele bewering beperkt is tot een of andere verzameling D begin je met ‘Stel dat c een willekeurig ding in D is.’ Het schema wordt dan:
5.7. UNIVERSELE BEWERING 79 Gegeven: . . . Te bewijzen: Voor elke x ∈ D: A(x) Bewijs: Stel c is een willekeurig element van D Te bewijzen: A(c) Bewijs: . . . Dus voor elke x ∈ D: A(x) Je zou je kunnen afvragen wat er bedoeld is met een ‘willekeurig ding’. Bijvoorbeeld: wat is een willekeurig natuurlijk getal? Is het groot? Is het klein? Een priemgetal of juist niet? Die zorgen worden veroorzaakt door de gedachte aan specifieke getallen. In feite is ‘Stel dat c een willekeurig element van D is’ hetzelfde als tegen de lezer zeggen: ‘Ik heb een element van D nodig, en het maakt niet uit welk element dat is. Jij mag kiezen. Want welk element jij ook kiest, ik ben in staat om het gevraagde bewijs te leveren.’ Een universele bewering komt vaak voor met een implicatie. In dit geval is het volgende schema handig. Gegeven: . . . Te bewijzen: Voor elke x: als A(x) dan B(x). Bewijs: Stel c is een object waarvoor A(c) geldt Te bewijzen: B(c) Bewijs: . . . Dus voor elke x: als A(x) dan B(x). Dat was de introductie van een universele bewering. Hoe staat het met het gebruik van een universeel gegeven? Als voor elke x geldt dat A(x), dan geldt A(t) voor elke t die je zou willen kiezen. Dit geeft: Gegeven: Voor elke x: A(x). Dus A(t).
Page 1:
Inzien en bewijzen Jan van Eijck en
Page 4 and 5:
4 INHOUDSOPGAVE 5 Recepten voor bew
Page 6 and 7:
6 HOOFDSTUK 1. HET HART VAN DE EXAC
Page 8 and 9:
8 HOOFDSTUK 1. HET HART VAN DE EXAC
Page 10 and 11:
10 HOOFDSTUK 1. HET HART VAN DE EXA
Page 12 and 13:
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
18 HOOFDSTUK 2. (IN)ZIEN EN BEWIJZE
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
Page 26 and 27:
Page 28 and 29: 28 HOOFDSTUK 2. (IN)ZIEN EN BEWIJZE
Page 36 and 37: 36 HOOFDSTUK 3. GESCHIEDENIS VAN DE
Page 54 and 55: 54 HOOFDSTUK 4. REDENEREN OVER ONEI
Page 68 and 69: 68 HOOFDSTUK 5. RECEPTEN VOOR BEWIJ
Page 88 and 89: 88 HOOFDSTUK 6. BEWIJZEN VINDEN EN
Page 90 and 91: 90 HOOFDSTUK 6. BEWIJZEN VINDEN EN
Page 92 and 93: 92 Biografieën school stond open v
Page 94 and 95: 94 Biografieën Leonhard Euler (170
Page 96 and 97: 96 Biografieën János Bolyai (1802
Page 98 and 99: 98 Biografieën Kurt Gödel (1906-1
Page 100 and 101: 100 Biografieën Andrew Wiles (gebo
Page 102 and 103: 102 Projecten
Page 104 and 105: 104 Uitwerkingen Uitwerking van 1.4
Page 106 and 107: 106 Uitwerkingen 200 kilometer afge
Page 108 and 109: 108 Uitwerkingen q = 0 en √ n = p
Page 110 and 111: 110 Uitwerkingen dat de cabrio acht
Page 112 and 113: 112 Uitwerkingen Uitwerking van 3.7
Page 114 and 115: 114 Uitwerkingen f(0) f(1) f(2) f(3
Page 116 and 117: 116 Uitwerkingen
Page 118 and 119: 118 Literatuur zouden ze het boek v
Page 120: Flaptekst De notie bewijs vormt het
show all

Inzien en bewijzen - CWI

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?