Inzien en bewijzen - CWI

2.4. NIET ALLE BEWIJZEN GEVEN (EVENVEEL) INZICHT 23
n+1 n(n+1)
2 = 2 geeft het aantal manieren om twee dingen te kiezen uit n + 1 mogelijkheden.
Waarom is dit nu gelijk aan 1 + · · · + n? Neem aan dat je een bak met n + 1 knikkers hebt,
genummerd van 1 tot en met n + 1. Je neemt twee knikkers uit de bak, met de afspraak
dat de tweede knikker een lager nummer moet hebben dan de eerste. Als je eerste knikker
nummer k heeft, kun je je tweede knikker op k − 1 manieren kiezen; er zitten immers k − 1
knikkers in de bak met een lager nummer dan k. Totaal geeft dit 1 + 2 + · · · + n manieren
om twee knikkers uit de bak te halen.
Vierde bewijs:
We hebben hierboven gezien (opdracht 2.5 op bladzijde 20) dat de som van de eerste n even
getallen n(n + 1) is. Welnu, als je de eerste n even getallen neemt, en je deelt elk ervan door
.
2, dan krijg je de eerste n getallen. De som van de eerste n getallen is dus n(n+1)
2
Vijfde bewijs:
Het vijfde bewijs is een inductiebewijs, naar het stramien van bladzijde 17. Bij een bewijs
met inductie laat je twee dingen zien (we nemen even aan dat de inductie bij 1 begint).
1. Voor het geval n = 1 gaat de bewering op, en
2. als je aanneemt dat de bewering opgaat voor het geval n, dan kun je daaruit afleiden dat
de bewering ook opgaat voor het geval n + 1.
De aanname, in (2), dat de bewering opgaat voor n, heet de inductiehypothese. In het voor-
. Die hypothese wordt vervolgens
beeldbewijs luidt de inductiehypothese: 1 + · · · + n = n(n+1)
2
gebruikt in de stap die wordt aangegeven met ih =.
Basisstap: Voor n = 1 geldt dat n(n+1)
2 = 1. Dit is inderdaad de som van de natuurlijke
getallen tot en met 1.
Inductiestap: Neem aan (inductiehypothese) dat 1 + · · · + n = n(n+1)
2 . We moeten nu
aantonen:
Dit volgt direct uit:
1+· · ·+n+(n+1) ih =
n(n + 1)
2
1 + · · · + n + (n + 1) =
(n + 1)(n + 2)
.
2
+(n+1) = n2 + n 2n + 2
+ =
2 2
n2 + 3n + 2
=
2
(n + 1)(n + 2)
2
Het nadeel van het inductiebewijs ten opzichte van de andere bewijzen is dat het aan het
eind van het bewijs nog steeds een raadsel is hoe je de betrekking 1 + · · · + n = n(n+1)
2 zelf zou
kunnen vinden.