Inzien en bewijzen - CWI

5.9. BEWIJSREGELS TOEPASSEN 81
Gegeven: Er is een x met A(x), . . .
Te bewijzen: B
Bewijs:
Stel c is een object dat aan A voldoet.
Te bewijzen: B
Bewijs: . . .
Dus B.
5.9 Bewijsregels toepassen
We hebben hierboven onderscheid gemaakt in zeven soorten van beweringen: implicaties, conjuncties,
equivalenties, disjuncties, negaties, universele beweringen en existentie beweringen. Als
je de beweringen in symbolen opschrijft zijn de beweringen te herkennen aan het logische hoofdsymbool
dat ze bevatten: ⇒ (implicatie), ∧ (conjunctie), ⇔ (equivalentie),∨ (disjunctie), ¬
(negatie), ∀ (universele kwantificatie) of ∃ (existentiële kwantificatie). We hebben nu voor elke
soort van bewering gezegd hoe je een bewering van die vorm moet gebruiken als het een gegeven
is, en hoe je een conclusie van die vorm moet ontleden om het bewijsprobleem te vereenvoudigen.
Dit geeft twee maal zeven is veertien bewijsregels. Een extra bewijsregel voor bewijs door
contradictie brengt het totaal op vijftien.
Dit waren alle bewijsregels. Je kunt je voorstellen dat met behulp van deze regels een ‘formele
taal van het bewijzen’ kan worden ontwikkeld die geschikt is voor verwerking per computer.
Kandidaat-bewijzen kunnen dan helemaal formeel worden opgeschreven. Zo’n geformaliseerd
bewijs kan vervolgens met de computer worden gecontroleerd. Dit heet: automatische bewijsverificatie.
De Nederlandse wiskundige en informaticus Dick de Bruijn was een van de pioniers.
Het door hem en zijn groep ontwikkelde programma Automath was de eerste automatische
bewijschecker die ooit is geconstrueerd. We komen er in hoofdstuk 6 op terug.
Hier is nog een eenvoudig bewijs over verzamelingen. Als A en B verzamelingen zijn, bedoelen
we met A − B de verzameling van alle elementen van A die niet in B zitten. Formeel: A − B =
{a ∈ A | a /∈ B}. We noemen dit het verschil van A en B).
Gegeven: A, B, C zijn verzamelingen.
Te bewijzen: A − C ⊆ (A − B) ∪ (B − C).
Bewijs: Laat x een willekeurig object in A − C zijn.
We moeten laten zien dat x ∈ (A − B) ∪ (B − C).
Neem aan dat x ∈ B. Uit x ∈ A − C weten we dat x /∈ C.
Dus x ∈ B − C.
Maar dan ook: x ∈ (A − B) of x ∈ (B − C).
Dus x ∈ (A − B) ∪ (B − C).
Neem aan dat x /∈ B. Uit x ∈ A − C weten we dat x ∈ A.