Inzien en bewijzen - CWI

3.7. WAAR DEDUCTIEVE SYSTEMEN OVER GAAN 49
D
Figuur 3.12: De Saccheri vierhoek in het Riemann model.
kunnen aankijken: de alledaagse manier en de modeltheoretische manier. We bespreken eerst
de alledaagse manier en dan de modeltheoretische manier.
Om de alledaagse manier te introduceren, kijken we eerst naar een bescheiden voorbeeld.
Bezie de zin ‘Balkenende is minister-president van Nederland in 2004’. Laten we die zin Balkie
noemen. Hoe kijken we nu aan tegen interpretatie en waarheid van Balkie? Simpel: de woorden
die in Balkie voorkomen hebben vaste betekenissen. Bijvoorbeeld het woord Balkenende slaat
op Balkenende. Hierdoor drukt Balkie uit dat Balkenende minister-president is. Dat is zo, dus
Balkie is waar. Nu bekijken we de zin ‘De som van de hoeken van een driehoek is 180 ◦ ’. Laten
we die zin Sommie noemen. We kunnen nu interpretatie en waarheid van Sommie op dezelfde
wijze behandelen als interpretatie en waarheid van Balkie. De woorden in Sommie hebben vaste
betekenissen en daardoor gaat Sommie ergens over. Sommie zegt dat voor elke driehoek D geldt
dat de som van de hoeken van D gelijk is aan 180 ◦ . Daarmee is Sommie een bewering over de
werkelijkheid die waar is of onwaar.
Het experiment van de grote wiskundige Karl Friedrich Gauss illustreert deze manier van
denken. Gauss (zie bladzijde 95) kwam op het briljante idee om te proberen te toetsen of de
werkelijkheid inderdaad euclidisch is, door metingen te verrichten aan de hoeken van een driehoek
die werd gevormd door ver uit elkaar gelegen bergtoppen. De uitkomst van dit meetexperiment
was dat de som van de hoeken precies gelijk is aan twee rechte hoeken. Dit kan worden beschouwd
als een empirische bevestiging van het feit dat de ons omringende ruimte zich, althans op aardse
schaal, euclidisch gedraagt. Inmiddels weten we (althans, degenen onder ons die natuurkunde
hebben gestudeerd) dat de niet-euclidische aard van de kosmische ruimte pas aan het licht komt
als we een schaal van lichtjaren hanteren.
Opdracht 3.8 Als je de vraag of de hoeken van een driehoek samen precies gelijk zijn aan
180 ◦ op kosmische schaal gaat toetsen, door de hoeken te meten van een driehoek die gevormd
E
b
d
A
F
c
a
C
B