Inzien en bewijzen - CWI

80 HOOFDSTUK 5. RECEPTEN VOOR BEWIJS-CONSTRUCTIE
In het geval van beperkte universele bewering:
5.8 Existentie bewering
Gegeven: Voor elke x ∈ D: A(x), t ∈ D.
Dus A(t).
Om te laten zien dat er een x is die aan A(x) voldoet is het voldoende om een object t te
produceren of aan te dragen, en daarvoor te laten laten zien dat A(t) het geval is. In schema:
Gegeven: A(t)
Dus, er is een x met A(x).
Dit drukt uit dat elk voorbeeld dat aan A voldoet gebruikt kan worden om ‘Er is een x met
A(x)’ aan te tonen.
Voor beperkte existentiële kwantificatie hebben we natuurlijk een voorbeeld nodig dat aan
de beperking voldoet:
Gegeven: A(t), t ∈ D
Dus, er is een x ∈ D met A(x).
Existentie bewijzen leveren niet altijd een specifiek voorbeeldobject op. Stel dat gegeven is
dat P (a) of P (b). Uit P (a) volgt dat er een x is met P (x), en uit P (b) volgt dat er een x is met
P (x). Maar dan volgt ‘Er is een x met P (x)’ ook uit P (a) of P (b), met de regel voor het gebruik
van een disjunctie. Echter, welke van de twee objecten a of b nu aan P voldoet weten we niet.
We kunnen dit nog wat concreter maken. Is er een irrationaal getal α met de eigenschap dat α √ 2
een breuk is? Ja, want we hebben hierboven aangetoond dat ofwel √ 2 ofwel √ √
2
2 die eigenschap
heeft. Het bewijs vertelt ons dus dat er een α moet zijn met de gevraagde eigenschap, maar het
vertelt ons niet welke van de twee kandidaten voldoet.
Wanneer je een gegeven van de vorm ‘Er is een x met A(x)’ wilt gebruiken om een of andere
conclusie B te bewijzen, moet je altijd starten met: ‘Stel dat c een object is dat aan A voldoet.’
Vervolgens probeer je B aan te tonen op basis van deze aanname. In schema: