Inzien en bewijzen - CWI

40 HOOFDSTUK 3. GESCHIEDENIS VAN DE AXIOMATISCHE METHODE
α
δ
Figuur 3.4: De som van de hoeken van een driehoek is gelijk aan 180 ◦ .
Het is niet helemaal duidelijk hoeveel eigen bijdragen van Euclides er in de Elementen zijn
verwerkt. Zeer waarschijnlijk is het grootste deel ontleend aan voorgangers van wie het werk
voor ons verloren is gegaan. Maar de presentatie is van Euclides zelf. En die presentatie is reden
genoeg om bewondering te hebben voor zijn diepe inzicht in zijn onderwerp. De keuze van zijn
vijf meetkundige postulaten was zonder meer briljant. Vele wiskundigen hebben in de loop van
de geschiedenis geprobeerd Euclides te verbeteren door te laten zien dat de vijf postulaten niet
onafhankelijk van elkaar zijn. Ze dachten dan te kunnen laten zien dat je een van de postulaten
uit de andere postulaten kunt afleiden.
Die pogingen concentreerden zich vooral op het vijfde postulaat, dat er inderdaad anders
uitziet dan de andere vier. Tal van pogingen zijn ondernomen om het vijfde postulaat uit de
overige vier af te leiden, maar het is nooit iemand gelukt. Euclides had dus heel goed gezien dat
dit postulaat niet kon worden gemist.
Nu was er wel enige reden om het vijfde postulaat te wantrouwen. De vier eerste postulaten
zijn stuk voor stuk zeer eenvoudige beweringen, maar het vijfde postulaat oogt een stuk ingewikkelder.
De ingewikkelder formulering suggereert dat het een stelling zou moeten zijn in plaats
van een axioma. Alle pogingen om die stelling te bewijzen zijn echter mislukt, of ze bleken toch
weer te berusten op een aanname die equivalent was aan het vijfde postulaat.
Zo leidden de pogingen van de Griekse wiskundige Proclus (410–485) om het vijfde postulaat
te bewijzen tot de volgende herformulering van het vijfde postulaat.
Gegeven een lijn een punt buiten die lijn is het mogelijk om precies één lijn door het
punt te trekken parallel aan de gegeven lijn.
Deze herformulering maakt duidelijk waarom Euclides’ vijfde postulaat ook wel wordt aangeduid
als het parallellenpostulaat.
Het blijkt echter dat, gegeven de andere axioma’s, het parallellenpostulaat zoals gegeven door
Euclides equivalent is met allerlei andere principes. Anders gezegd, er zijn heel verschillende
principes X, zodat X bewezen kan worden uit axioma’s I tot en met V, maar zodat, andersom,
axioma V volgt uit axioma I tot en met IV verrijkt met X. Hier heb je enige mogelijke X-en
(ontleend aan [17], blz. 128–129).
γ
ε
β