Inzien en bewijzen - CWI

4.5. OVERAFTELBAAR 61
Het is duidelijk dat de verzameling van karakteristieke functies op N minstens even groot is
als N zelf. Voor elk getal n is er immers een functie die dat getal op 1 afbeeldt en alle andere
getallen op 0, en al die functies zijn verschillend. Dus: er is een injectie van N naar {0, 1} .
Stelling 4.1 (Diagonaalstelling) De verzameling {0, 1}
is niet aftelbaar.
Bewijs. Neem aan dat er een aftelling F is van de verzameling {0, 1} . Dit houdt in dat
er een oneindige lijst f0, f1, f2, f3, . . . bestaat van alle karakteristieke functies in {0, 1} . Het
volgende plaatje geeft een beeld van hoe die lijst eruit zou kunnen zien. Het plaatje is slechts
een voorbeeld; de feitelijke waarden zouden natuurlijk anders kunnen zijn.
0 1 2 3 4 5 6 · · ·
f0 1 0 0 0 0 0 0 · · ·
↘
f1 0 1 0 1 0 0 1 · · ·
↘
f2 1 0 0 1 1 0 0 · · ·
↘
f3 0 0 0 0 1 1 0 · · ·
↘
f4 1 0 0 0 0 1 1 · · ·
↘
f5 1 0 0 0 0 1 0 · · ·
↘
f6 1 0 0 0 0 0 1 · · ·
.
.
.
.
.
.
. ↘
Laten we nu eens kijken naar de oneindige reeks van nullen en enen die te zien is op de
diagonaal in dit plaatje. We definiëren een nieuwe karakteristieke functie f ∗ door de diagonaal
langs te lopen en alle nullen in enen te veranderen en andersom. Met andere woorden: als
fn(n) = 1, dan wordt f ∗ (n) = 0, en als fn(n) = 0, dan wordt f ∗ (n) = 1. Hiermee ligt f ∗
volledig vast. Als we het voorbeeld uit het plaatje beschouwen zien we:
f0(0) = 1 dus f ∗ (0) = 0,
f1(1) = 1 dus f ∗ (1) = 0,
f2(2) = 0 dus f ∗ (2) = 1,
f3(3) = 0 dus f ∗ (3) = 1,
f4(4) = 0 dus f ∗ (4) = 1,
f5(5) = 1 dus f ∗ (5) = 0,
enzovoort.
Het is duidelijk dat f ∗ verschillend is van elke fi. Immers, de waarden van f ∗ en fi verschillen
voor argument i. Dit is in tegenspraak met de aanname dat de lijst f0, f1, . . . een opsomming is
van alle elementen van {0, 1} . Hiermee is de veronderstelling waar we mee begonnen, namelijk
dat er een aftelling F bestaat van de verzameling {0, 1} , weerlegd.