Inzien en bewijzen - CWI

5.4. NEGATIE 75
Gegeven: x2 = 2
Te bewijzen: er zijn geen m, n ∈ N met x = m
n .
Bewijs:
Stel er zijn m, n ∈ N met x = m
n .
Te bewijzen: ⊥.
Bewijs:
Neem aan dat x = m
n
in eenvoudigste vorm is,
dat wil zeggen, er zijn geen k, p, q ∈ N met k = 1, m = kp and n = kq.
Dan geldt: x 2 = (m/n) 2 = 2.
Dus: 2 = (m/n) 2 = m 2 /n 2 .
Door beide zijden met n 2 te vermenigvuldigen vinden we: 2n 2 = m 2 .
Dus m 2 is even.
Kwadraten van oneven getallen zijn altijd oneven, dus m is even.
Dus er is een p ∈ N met m = 2p.
Invullen van 2p voor m in 2n 2 = m 2 geeft 2n 2 = (2p) 2 = 4p 2 .
Hieruit blijkt dat n 2 = 2p 2 , dus n is ook even.
Dus m en n zijn allebei even.
Tegenspraak met de aanname dat m/n een breuk is in eenvoudigste vorm.
Dat wil zeggen: ⊥.
Dus de wortel uit 2 is geen breuk.
Figuur 5.1: Nogmaals Stelling 1.1.