Inzien en bewijzen - CWI

70 HOOFDSTUK 5. RECEPTEN VOOR BEWIJS-CONSTRUCTIE
Bijvoorbeeld: uit ‘Als m oneven is, dan is m 2 dat ook’ en ‘m is oneven’ kun je met modus
ponens concluderen: ‘m 2 is oneven.’
En hier is de introductieregel voor implicatie. Deze regel wordt ook wel de deductieregel of
de regel voor hypothetisch redeneren genoemd. De implicatie als P dan Q wordt bewezen door
een deelbewijs te starten met de extra aanname P . Vervolgens wordt met behulp daarvan Q
bewezen. Tenslotte wordt het deelbewijs afgesloten met de constatering dat nu als P dan Q is
bewezen (buiten het deelbewijs).
Gegeven: . . .
Te bewijzen: als P dan Q
Bewijs:
Stel P
Te bewijzen: Q
Bewijs: . . .
Dus als P dan Q.
De laatste regel, met Dus als P dan Q buiten het deelbewijs, wordt overigens vaak weggelaten.
De goede verstaander heeft immers al begrepen dat de bedoeling van het deelbewijs was
om de implicatie als P dan Q aan te tonen.
Een voorbeeld van deze manier van redeneren is het aantonen van de implicatie ‘als m oneven
is, dan is m 2 ook oneven’. Dat gaat zo.
Te bewijzen: als m oneven is, dan is m 2 ook oneven
Bewijs:
Stel m oneven, dat wil zeggen m = 2n + 1.
Te bewijzen: m 2 oneven.
Bewijs: m 2 = (2n + 1) 2 = 4n + 4 + 1,
en dat is oneven.
Hier is een voorbeeld dat zowel gebruikmaakt van hypothetisch rederenen als van modus
ponens.