Inzien en bewijzen - CWI

5.6. DISJUNCTIE 77
Gegeven: Q
Dus P of Q.
Hoe gebruik je een disjunctie als gegeven? Stel dat P of Q gegeven is, en je moet R aantonen.
Dan laat je zien dat R zowel uit aanname P als uit aanname Q kan worden afgeleid. In schema:
Gegeven: P of Q, . . .
Te bewijzen: R
Bewijs:
Stel P
Te bewijzen: R
Bewijs: . . .
Stel Q
Te bewijzen: R
Bewijs: . . .
Dus R.
Soms kunnen we in een redenering gebruikmaken van het feit dat P of niet P een logische
waarheid is. Als we dus zowel uit P als uit niet P conclusie B kunnen afleiden, dan hebben we
daarmee B bewezen. Hier is een voorbeeld.
Voor elke n ∈ N geldt dat n(n + 1) even is.
Bewijs.
Stel n is even.
Dan is een van de factoren van n(n + 1) even, dus n(n + 1) is even.
Stel n is oneven. Dan is n + 1 even.
Weer geldt: een van de factoren van n(n + 1) even, dus n(n + 1) is even.
Dit heet een bewijs door gevalsonderscheiding. Soms moeten meer dan twee gevallen worden
onderscheiden. Zie de nu volgende opdracht.
Opdracht 5.3 Laat zien dat voor elke n ∈ N geldt dat n(n + 1)(n + 2) een drievoud is.