Inzien en bewijzen - CWI

Hoofdstuk 3
Geschiedenis van de axiomatische
methode
3.1 Aristoteles over de axiomatische methode
Aristoteles (een Griekse filosoof uit de vijfde eeuw voor Christus) identificeerde de volgende
twee basisingrediënten van abstract redeneren: begrippen en beweringen. Begrippen dienen
om de zaken te omschrijven waarop het redeneren betrekking heeft. Zij maken het redeneren
mogelijk. Beweringen zijn de uitspraken die je doet over zaken die je met behulp van begrippen
hebt gedefinieerd. Begrippen dienen te worden gedefinieerd en beweringen dienen te worden
bewezen.
Een definitie is een omschrijving van de betekenis van een begrip in termen van andere
begrippen. Aristoteles merkte op dat het niet mogelijk is om van elk begrip een definitie te
geven. Het proces van definiëren kan immers niet eindeloos terug gaan. Sommige begrippen zijn
primitieve begrippen. Je wordt geacht onmiddellijk te ‘zien’ wat ze betekenen. Een voorbeeld
uit de meetkunde is het begrip ‘punt’. Euclides doet wel een (zwakke) poging om een punt te
omschrijven als ‘dat wat geen delen heeft’, maar die definitie wordt verder nooit gebruikt, en
ook wordt niet uitgelegd wat het betekent om een deel te zijn van iets. Een voorbeeld van een
primitief begrip uit de moderne wiskunde is het begrip ‘verzameling’.
Opdracht 3.1 Zoek het woord verzameling op in een woordenboek van het Nederlands, bijvoorbeeld
Van Dale. Zoek vervolgens de woorden op die gebruikt worden in de omschrijving, dan de
woorden die gebruikt worden in de omschrijvingen van die woorden, enzovoort. Waar stopt dit
proces?
Net zo min als elk begrip een definitie heeft, heeft elke bewering een bewijs. Bewijzen van
een bewering A doe je door A met behulp van een bewijsregel af te leiden uit andere beweringen,
zeg B en C:
B C
A
Bewijzen van B doe je door B met behulp van een bewijsregel af te leiden uit weer andere
bewerkingen, bij voorbeeld D en E.
35