Inzien en bewijzen - CWI

52 HOOFDSTUK 3. GESCHIEDENIS VAN DE AXIOMATISCHE METHODE
1. Geen enkel getal heeft 0 als opvolger.
2. Als n ongelijk is aan m, dan is de opvolger van n ongelijk aan de opvolger van m.
3. Voor elk getal n geldt dat n + 0 = n.
4. Voor elk tweetal getallen n en m geldt dat n + (m + 1) = (n + m) + 1.
5. Voor elk getal n geldt dat n × 0 = n.
6. Voor elk tweetal getallen n en m geldt dat n × (m + 1) = n × m + n.
7. Voor elke bewering P (n) over n is de volgende bewering een axioma:
als P (0) geldt en er geldt bovendien voor een willekeurige n dat P (n + 1) volgt uit P (n),
dan geldt P (n) voor elk getal n.
Axioma’s (3) en (4) leggen de spelregels voor het optellen vast, en (5) en (6) die voor het
vermenigvuldigen. Axioma (7) levert een axioma voor elke keuze van P (n). Daarmee verwoordt
(7) het principe van volledige inductie. Merk op dat machtsverheffen kan worden gedefinieerd
in termen van vermenigvuldigen, dus de bewering uit opdracht 2.1 (om maar een voorbeeld te
noemen) kan in het redeneersysteem van Peano worden bewezen.
In het redeneersysteem S van Peano kunnen we concreet een ware zin G over getallen aanwijzen
die niet door het systeem S bewezen wordt. We kunnen helaas niet onder het probleem
uitkomen door die ware zin G aan het gegeven systeem S toe te voegen. Als het resulterende
systeem T = S + G nog steeds vrij is van tegenspraak, dan is er een nieuwe ware zin H over
getallen aan te wijzen die niet volgt uit het verrijkte systeem T . Enzovoorts.
De conclusie uit Gödels stelling is dat het weliswaar mogelijk is voor elk welomschreven
domein van wiskundig redeneren een formeel systeem te specificeren waarin we het redeneren
binnen dat domein getrouw kunnen representeren, maar dat er niet één theorie kan zijn die voor
eens en voor altijd werkt voor alle domeinen. Kortom: de wiskundige werkelijkheid is oneindig
rijk!