Inzien en bewijzen - CWI

76 HOOFDSTUK 5. RECEPTEN VOOR BEWIJS-CONSTRUCTIE
5.5 Bewijs door contradictie
In schier hopeloze gevallen is een bewijs door contradictie (of: bewijs uit het ongerijmde) soms
een laatste redmiddel om een bewering P aan te tonen. Dit gaat als volgt. Neem extra gegeven
niet P aan, en laat zien dat daar een contradictie uit volgt. Dan is P kennelijk waar. Dit is de
methode die Saccheri gebruikte in zijn poging om het vijfde postulaat van Euclides te bewijzen.
In schema:
Gegeven: . . .
Te bewijzen: P
Bewijs:
Stel niet P
Te bewijzen: ⊥
Bewijs: . . .
Dus P .
Let op: dit is anders dan het bewijs van een negatie. Bij het bewijzen van een negatie nemen
we, om niet P te bewijzen, aan dat P, in de hoop een tegenspraak af te leiden. Bij een bewijs
uit het ongerijmde nemen we, om P te bewijzen, aan dat niet P, in de hoop een tegenspraak af
te leiden.
Hier is een (curieus) voorbeeld. We laten zien: er zijn irrationale getallen a en b met de
eigenschap dat ab rationaal is. Stel, voor een contradictie, dat dit niet zo is. Dat wil zeggen:
stel dat voor elk paar van irrationale getallen a en b geldt dat ab irrationaal is. Beschouw nu
het getal ( √ √ √
2) 2 2.
√ √
√ 2
Uit stelling 1.1 weten we dat 2 irrationaal is. Dus, met de aanname: 2
is irrationaal. Uit het feit dat √ √ √
2
2 en 2 beide irrationaal zijn volgt, weer met de aanname:
( √ √ √ √
2) 2
2 √
√ √ √
is irrationaal. Maar dit levert een tegenspraak, want ( 2) 2
2 √ 2· 2 √ 2 = 2 = 2 = 2,
en dat is een rationaal getal.
Let op: op deze manier hebben we nog niet twee irrationale getallen a en b gevonden zodat
a b rationaal is. We hebben alleen bewezen dat dit soort getallen bestaat. Om twee van zulke
getallen daadwerkelijk te vinden is een veel sterker bewijs nodig.
5.6 Disjunctie
Een disjunctie volgt uit elk van de disjuncten. De introductieregels luiden dus als volgt.
Gegeven: P
Dus P of Q.