Inzien en bewijzen - CWI

More documents

Recommendations

Info

28 HOOFDSTUK 2. (IN)ZIEN EN BEWIJZEN Bewijs. Stel dat p deler is van ab, maar niet van a. Dan geldt dus dat GGD(a, p) = 1, want p heeft immers alleen p en 1 als delers. Uit de vorige stelling volgt dat er gehele getallen m, n zijn met: Vermenigvuldig nu aan beide zijden met b: ma + np = 1. mab + nbp = b. Uit het feit dat p deler is van ab weten we dat p zowel mab als nbp deelt. Dus p is deler van mab + nbp. Maar dan is p ook deler van b. Hiermee kunnen we vervolgens de zogenaamde fundamentele stelling van de rekenkunde bewijzen. Die stelling zegt dat elk geheel getal groter dan 1 een unieke ontbinding in priemfactoren heeft (uniek, afgezien van de volgorde van de factoren). Stelling 2.4 (Fundamentele stelling van de rekenkunde) Elk natuurlijk getal groter dan 1 heeft een unieke priemfactorisering. Bewijs. Hier is een manier om een willekeurig natuurlijk getal n groter dan 1 in priemfactoren te ontbinden: ZOLANG n = 1 DOE (p := KD(n); n := n p ). We weten (opdracht 2.3) dat KD(n) een priemgetal is, dus elke keer dat de lus wordt doorlopen wordt er een priemfactor pi van het oorspronkelijke getal afgesplitst. Bij elke gang door de lus wordt n kleiner, dus deze procedure stopt na eindig veel stappen. Dit laat zien dat elk natuurlijk getal groter dan 1 een priemfactorisering heeft. Wat we nu nog moeten laten zien is dat die priemfactorisering uniek is. Neem aan dat er een getal N bestaat met minstens twee verschillende priemfactoriseringen. Dan zou voor N het volgende moeten gelden: N = p1 · · · pr = q1 · · · qs, met alle p1, . . . , pr, q1, . . . , qs priem. Dus moet er een pi zijn die niet voorkomt tussen de q’s. Maar dat is in tegenspraak met Stelling 2.3, omdat pi deler is van N = q1 · · · qs terwijl pi geen van q1, . . . , qs deelt. Dit zijn immers allemaal priemgetallen die stuk voor stuk verschillend zijn van pi. Met behulp van de fundamentele stelling van de rekenkunde kunnen we de irrationaliteit van √ 2 op nog een andere manier bewijzen. Bewijs 4 van ‘ √ 2 is geen breuk’. Als √ 2 = p/q, dan is 2q 2 = p 2 . In de representatie van p 2 als product van priemfactoren zal elke priemfactor een even aantal malen voorkomen. Immers, het kwadraat van een getal is gelijk aan het product van de kwadraten van de priemfactoren van dat getal. In de representatie van 2q 2 komt de factor 2 echter een oneven aantal malen voor. Omdat volgens Stelling 2.4 de representatie als product van priemfactoren uniek is (afgezien van de volgorde van de factoren) is dit onmogelijk.
2.7. OPDRACHTEN OVER BEWIJSMETHODEN 29 2.7 Opdrachten over bewijsmethoden De volgende opdrachten geven je de kans generalisaties van en variaties op de stellingen uit hoofdstuk 1 te onderzoeken. We beginnen met variaties op en generalisaties van Stelling 1.1. Opdracht 2.13 Gebruik de methode van het bewijs van stelling 1.1 om te laten zien dat de wortel uit 3 geen breuk is. Opdracht 2.14 Kun je nu ook laten zien dat √ 2 + √ 3 geen breuk is? Opdracht 2.15 Laat zien: als p priem is, dan is √ p geen breuk. Opdracht 2.16 Laat zien: als n een natuurlijk getal is met de eigenschap dat √ n geen natuurlijk getal is, dan is √ n geen breuk. Opdracht 2.17 Je herinnert je hopelijk nog de definitie van ‘de logaritme van a op basis b.’ Die definitie luidde: L = b log a is de macht waartoe we basis b moeten verheffen om a te krijgen, dat wil zeggen, b L = a. 10 log 2 is dus de macht (of exponent) waartoe we 10 moeten verheffen om 2 te krijgen. Kun je laten zien dat 10 log 2 geen breuk is? b D E F G e f d g A C B Figuur 2.2: De gulden snede. Minstens even beroemd als de verhouding tussen de schuine zijde en de rechthoekzijde in een gelijkbenige rechthoekige driehoek is de verhouding tussen de lange zijde en de korte zijde in de rechthoek uit figuur 2.2. Deze rechthoek heeft een bijzondere eigenschap: als je het vierkant ABF D uit de rechthoek AHGD verwijdert, krijg je een nieuw rechthoek HGF B met precies dezelfde verhouding tussen hoogte en breedte als in de oorspronkelijke rechthoek, met als enige verschil dat de nieuwe rechthoek op zijn kant staat. In de Oudheid werd de verhouding tussen de lange zijde en de korte zijde in het rechthoek uit figuur 2.2 gezien als de esthetisch ideale verhouding. Men noemde die verhouding de gulden snede. De waarde is bij benadering 1, 61803. c a H
Page 1: Inzien en bewijzen Jan van Eijck en
Page 4 and 5: 4 INHOUDSOPGAVE 5 Recepten voor bew
Page 6 and 7: 6 HOOFDSTUK 1. HET HART VAN DE EXAC
Page 8 and 9: 8 HOOFDSTUK 1. HET HART VAN DE EXAC
Page 10 and 11: 10 HOOFDSTUK 1. HET HART VAN DE EXA
Page 18 and 19: 18 HOOFDSTUK 2. (IN)ZIEN EN BEWIJZE
Page 36 and 37: 36 HOOFDSTUK 3. GESCHIEDENIS VAN DE
Page 54 and 55: 54 HOOFDSTUK 4. REDENEREN OVER ONEI
Page 68 and 69: 68 HOOFDSTUK 5. RECEPTEN VOOR BEWIJ
Page 78 and 79:
78 HOOFDSTUK 5. RECEPTEN VOOR BEWIJ
Page 80 and 81:
Page 82 and 83:
Page 84 and 85:
Page 86 and 87:
Page 88 and 89:
88 HOOFDSTUK 6. BEWIJZEN VINDEN EN
Page 90 and 91:
90 HOOFDSTUK 6. BEWIJZEN VINDEN EN
Page 92 and 93:
92 Biografieën school stond open v
Page 94 and 95:
94 Biografieën Leonhard Euler (170
Page 96 and 97:
96 Biografieën János Bolyai (1802
Page 98 and 99:
98 Biografieën Kurt Gödel (1906-1
Page 100 and 101:
100 Biografieën Andrew Wiles (gebo
Page 102 and 103:
102 Projecten
Page 104 and 105:
104 Uitwerkingen Uitwerking van 1.4
Page 106 and 107:
106 Uitwerkingen 200 kilometer afge
Page 108 and 109:
108 Uitwerkingen q = 0 en √ n = p
Page 110 and 111:
110 Uitwerkingen dat de cabrio acht
Page 112 and 113:
112 Uitwerkingen Uitwerking van 3.7
Page 114 and 115:
114 Uitwerkingen f(0) f(1) f(2) f(3
Page 116 and 117:
116 Uitwerkingen
Page 118 and 119:
118 Literatuur zouden ze het boek v
Page 120:
Flaptekst De notie bewijs vormt het
show all

Inzien en bewijzen - CWI

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?