Inzien en bewijzen - CWI

More documents

Recommendations

Info

104 Uitwerkingen Uitwerking van 1.4. Uitwerking van 1.5. Driehoek △BAD is gelijkbenig, dus ∠DBA en ∠ADB zijn gelijk, en 2∠DBA+∠BAD = 180 ◦ . Driehoek △ACD is ook gelijkbenig, dus ∠ACD en ∠ADC zijn gelijk, en 2∠ADC + ∠CAD = 180 ◦ . Dus 2∠BDC = 360 ◦ − (∠BAC + ∠CAD) = 360 ◦ − 180 ◦ = 180 ◦ , en ∠BDC = 90 ◦ . Uitwerking van 1.6. Onze favoriete programmeertaal is Haskell (zie www.haskell.org). Een Haskell programma dat het gevraagde doet is het volgende. De ruimte ontbreekt om dit programma hier in detail uit te leggen; wie geïntrigeerd is zij verwezen naar de informatie over Haskell op internet.
Uitwerkingen 105 fact :: Integer -> Integer fact 0 = 1 fact n = n * fact (n-1) prime :: Integer -> Integer prime n = until (\d -> rem q d == 0) succ (n+1) where q = fact n + 1 generate :: [(Integer,Integer,Integer)] generate = map (\n -> (n, fact n + 1, prime n)) [1..] Dit is het programma dat we gebruikt hebben om de tabel op bladzijde 12 te genereren. Verder dan die tabel komen we overigens niet. Hoofdstuk 2 Uitwerking van 2.1. Basisgeval: 25 = 32 > 52 = 25. Inductiestap: De inductiehypothese is n ≥ 5 en 2n > n2 . We moeten op grond hiervan aantonen dat 2n+1 > (n + 1) 2 . We hebben 2n+1 = 2 · 2n = 2n + 2n en (n + 1) 2 = n2 + 2n + 1. Omdat 2n > n2 (inductiehypothese) is het genoeg om te laten zien dat n2 > 2n + 1, voor n ≥ 5. Dat kan (voor wie dit niet direct gelooft) weer met inductie: 52 = 25 > 2 · 5 + 1 = 11 (basis), en: als n2 > 2n + 1, dan (n + 1) 2 = n2 + 2n + 1 ih > (2n + 1) + (2n + 1) > 2(n + 1) + 1 = 2n + 3. De aanduiding ih > geeft aan waar de inductiehypothese is gebruikt in deze tweede inductie. Uitwerking van 2.2. We moeten laten zien dat uit a|b en b|c volgt dat a|c. Neem dus aan dat a|b en b|c. Om te laten zien dat a|c moeten we een natuurlijk getal N vinden met de eigenschap dat aN = c. Uit a|b weten we dat er een natuurlijk getal M is met aM = b, en uit b|c weten we dat er een natuurlijk getal K is met bK = c. Als je nu aM invult voor b in bK = c krijg je aMK = c. Neem N = MK, en je hebt aangetoond dat a|c. Uitwerking van 2.3. Neem aan dat n > 1, terwijl c = KD(n) geen priemgetal is. Dit zou een tegenspraak moeten opleveren, en dat doet het ook. Immers, als c geen priemgetal is, dan zijn er natuurlijke getallen a, b, elk groter dan 1, met c = ab. Maar dan is a zeker kleiner dan c, en a|c. Maar uit a|c en c|n volgt dat a|n (opdracht 2.2). Dus is c niet de kleinste deler van n. De aanname dat KD(n) geen priemgetal is moet dus worden verworpen. Uitwerking van 2.4. Neem aan dat n geen priemgetal is. Laat b = KD(n). Dan is er een a met ba = n. Dus a|n, maar omdat b de kleinste deler van n is geldt b ≤ a. Maar dan is b2 ≤ ba = n, dat wil zeggen (KD(n)) 2 ≤ n. Uitwerking van 2.5. De som van de eerste n even getallen is gelijk aan n(n + 1). Uitwerking van 2.6. Merk op dat de beweging die kever B maakt steeds haaks staat op de beweging van kever A. Het feit dat B beweegt ten opzichte van A is dus irrelevant: immers, de beweging die B maakt brengt B niet dichter bij A en ook niet verder van A af. De afstand die A aflegt voordat hij B ontmoet is dus a (en net zo voor de andere kevertjes). Uitwerking van 2.7. De snelheid waarmee de twee treinen elkaar naderen is 250 kilometer per uur, dus de botsing vindt plaats na precies een uur. In dat uur heeft de turbovlieg precies
Page 1:
Inzien en bewijzen Jan van Eijck en
Page 4 and 5:
4 INHOUDSOPGAVE 5 Recepten voor bew
Page 6 and 7:
6 HOOFDSTUK 1. HET HART VAN DE EXAC
Page 8 and 9:
8 HOOFDSTUK 1. HET HART VAN DE EXAC
Page 10 and 11:
10 HOOFDSTUK 1. HET HART VAN DE EXA
Page 12 and 13:
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
18 HOOFDSTUK 2. (IN)ZIEN EN BEWIJZE
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
Page 26 and 27:
Page 28 and 29:
Page 30 and 31:
Page 32 and 33:
Page 34 and 35:
Page 36 and 37:
36 HOOFDSTUK 3. GESCHIEDENIS VAN DE
Page 38 and 39:
Page 40 and 41:
Page 42 and 43:
Page 44 and 45:
Page 46 and 47:
Page 48 and 49:
Page 50 and 51:
Page 52 and 53:
Page 54 and 55: 54 HOOFDSTUK 4. REDENEREN OVER ONEI
Page 68 and 69: 68 HOOFDSTUK 5. RECEPTEN VOOR BEWIJ
Page 88 and 89: 88 HOOFDSTUK 6. BEWIJZEN VINDEN EN
Page 90 and 91: 90 HOOFDSTUK 6. BEWIJZEN VINDEN EN
Page 92 and 93: 92 Biografieën school stond open v
Page 94 and 95: 94 Biografieën Leonhard Euler (170
Page 96 and 97: 96 Biografieën János Bolyai (1802
Page 98 and 99: 98 Biografieën Kurt Gödel (1906-1
Page 100 and 101: 100 Biografieën Andrew Wiles (gebo
Page 102 and 103: 102 Projecten
Page 106 and 107: 106 Uitwerkingen 200 kilometer afge
Page 108 and 109: 108 Uitwerkingen q = 0 en √ n = p
Page 110 and 111: 110 Uitwerkingen dat de cabrio acht
Page 112 and 113: 112 Uitwerkingen Uitwerking van 3.7
Page 114 and 115: 114 Uitwerkingen f(0) f(1) f(2) f(3
Page 116 and 117: 116 Uitwerkingen
Page 118 and 119: 118 Literatuur zouden ze het boek v
Page 120: Flaptekst De notie bewijs vormt het
show all

Inzien en bewijzen - CWI

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?