Inzien en bewijzen - CWI

3.2. EUCLIDES’ AXIOMATISCHE PRESENTATIE VAN DE MEETKUNDE 37
Figuur 3.1: Illustraties van postulaten IV en V.
Nu doet zich het verrassende feit voor dat er uit deze postulaten allerlei beweringen (stellingen)
volgen waarvan je op het eerste gezicht helemaal niet zou zeggen dat ze in de postulaten
besloten liggen.
Als voorbeeld van de manier waarop je de postulaten kunt gebruiken om de waarheid van
verrassende beweringen aan te tonen, geven we het bewijs van het welbekende feit dat som van
de drie hoeken van een driehoek gelijk is aan 180 ◦ (dat wil zeggen, aan twee rechte hoeken).
Allereerst laten we zien dat, als een lijn l twee parallelle lijnen m en k snijdt, de twee overstaande
hoeken (dat wil zeggen: verwisselde binnenhoeken) gelijk zijn (figuur 3.2).
Uit het feit dat de lijnen m en k elkaar niet snijden aan de zijde van de hoeken α en γ kunnen
we concluderen, met behulp van postulaat V, dat α + γ niet kleiner is dan twee rechte hoeken.
Anders gezegd, α + γ ≥ 180 ◦ . Merk nu op dat γ en δ samen een gestrekte hoek vormen, dat wil
zeggen, γ + δ = 180 ◦ . Samen met α + γ ≥ 180 ◦ geeft dit α + (180 ◦ − δ) ≥ 180 ◦ . Hieruit volgt
α ≥ δ. Net zo volgt uit het feit dat m en k elkaar niet snijden aan de zijde van de hoeken β en
δ dat δ + (180 ◦ − α) ≥ 180 ◦ , dus δ ≥ α. Samen met α ≥ δ geeft dit α = δ.
Uit α = δ volgt 180 ◦ − α = 180 ◦ − δ, dat wil zeggen, β = γ. Hiermee is het gevraagde
bewezen.
Je kunt uit postulaten I tot en met IV de volgende stelling bewijzen. Stel, je hebt een lijn
en een punt niet op die lijn. Dan gaat er door dat punt een lijn die evenwijdig is met de gegeven
lijn (figuur 3.3. We zullen nu gebruikmaken van deze stelling zonder haar te bewijzen.
Nu we dit eenmaal hebben is het bewijs dat de som van de drie hoeken van een driehoek
gelijk is aan 180 ◦ niet moeilijk meer. Zie de driehoek in figuur 3.4, met een lijn door de tophoek
van de driehoek parallel aan de basis. Dat zo’n lijn er moet zijn volgt uit de zojuist genoemde
stelling. Uit wat we daarvoor hebben bewezen weten we dat α = δ en β = ɛ, dus α + β + γ =
δ + γ + ɛ = 180 ◦ , en dat is precies wat bewezen moest worden.
Opdracht 3.2 Laat nu zelf zien dat, als twee lijnen m en n elkaar snijden, de overstaande
hoeken congruent (gelijk) zijn. Welk postulaat heb je hiervoor nodig?
Euclides laat af en toe kleine steekjes vallen door hier en daar begrippen te hanteren waar
extra axioma’s voor nodig zijn die echter niet worden gegeven. Als drie punten A, B en C op een
α
β