Inzien en bewijzen - CWI

2.8. EEN FOUT BEWIJS IS GEEN BEWIJS 33
4. Maar dan is a = 2a.
5. Delen van beide kanten door a geeft: 1 = 2. QED.
Net zo kun je bewijzen dat 2 = 1. Dat doen we als volgt.
1. Stel dat a = b. Dan volgt hieruit zeker dat a 2 = ab.
2. Links en rechts b 2 aftrekken geeft: a 2 − b 2 = ab − b 2 .
3. Ontbinden geeft: (a + b)(a − b) = b(a − b).
4. Dit kunnen we vereenvoudigen met delen door a − b. Dit geeft: a + b = b.
5. Omdat a en b aan elkaar gelijk zijn volgt hieruit 2b = b.
6. Maar dan geeft delen door b dat 2 = 1. QED.
Opdracht 2.25 Waar zit de fout in bovenstaande redeneringen?
Nog een voorbeeld. We bewijzen nu dat 0 = 1. Neem de volgende oneindige reeks.
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·
De som van deze reeks is 0 als je de haakjes zo zet:
(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + · · ·
De som van de reeks is 1 als je de haakjes zo zet:
Dus 0 = 1. QED.
1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · ·
Opdracht 2.26 Waar zit de fout in deze redenering?
Tenslotte een voorbeeld van een merkwaardig ‘bewijs’ met behulp van inductie. We ‘bewijzen’
met volledige inductie dat voor elke eindige verzameling A en voor elke eigenschap E geldt
dat ofwel alle elementen van A eigenschap E hebben ofwel geen van de elementen van A heeft
eigenschap E. Dit impliceert bij voorbeeld dat de inwoners van Amsterdam of allemaal mannen
zijn of allemaal vrouwen. We ‘bewijzen’ dit met inductie naar de grootte van de verzameling A.
Basisstap Neem aan dat de verzameling A slechts 1 element bevat. Als dat element eigenschap
E heeft, dan hebben alle elementen van A de eigenschap, anders heeft geen element van
A de eigenschap. Dus: ofwel alle elementen van A zijn E, ofwel geen element van A is E.
Inductiestap Neem aan dat elke verzameling van n elementen ofwel bestaat uit alleen Es,
ofwel bestaat uit alleen niet-Es. Dit is onze inductiehypothese. We laten zien dat dit ook
geldt voor verzamelingen met n + 1 elementen. Neem dus aan dat A een verzameling is
van n + 1 elementen. Nu selecteren we willekeurig twee individuen p en q uit A. We laten
zien dat die twee ofwel allebei E hebben, ofwel allebei niet-E.